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zweiten der Gleichungen (17) nie gleichzeitig A = o, A' — o ist. Wir wol- 

 len für einen Augenblick annehmen, dieser Nachweis sei für alle Reihen der 

 zweiten Klasse geführt. Unter dieser Voraussetzung soll im folgenden §. die 

 Richtigkeit derselben Behauptung für die dritte Klasse gezeigt und zugleich 

 der am Anfang des §. 3 aufgestellte Satz abgeleitet werden, so dafs uns dann 

 nur noch übrig bleiben wird, am Schlüsse der Abhandlung die hinsichtlich 

 der Reihen der zweiten Klasse vorausgesetzte Eigenschaft zu beweisen. 



15. 



Nimmt man von beiden Seiten der Gleichuug (16) die neperschen Lo- 

 garithmen und entwickelt, so kommt 



- + ^ 2 V(lv^ + - = lo S i: ' 

 wo wir zur Abkürzung nur das allgemeine Glied geschrieben haben, in wel- 

 chem für \x successive alle Werthe von ju. = l bis \x = oo zu setzen sind, und 

 wo sich das Summenzeichen auf alle q erstreckt. Es sei nun 7 irgend' eine 

 bestimmte der unter (11) definirten Zahlen, und man setze //'= i (mod. k), 

 wo /', wie /, primär und Primzahl zu k ist. Multiplicirt man unsere 

 Gleichung mit Sl f , und summirt nach allen Wurzelverbindungen, so erhält 

 man 



... + ±x(Sa lY )^ rT + ... = Sa, log L. 



Nun ist nach (15), SQ.^ „ = o, aufser wenn /'</*= i, oder was dasselbe ist, 

 aufser wenn q*=l (mod. k) ist, für welchen Fall die Summe den Werth 

 -i-\f/(/i) annimmt. Die Gleichung wird daher 



wo sich das Zeichen S im ersten, zweiten,... Gliede resp. auf die Primzah- 

 len q erstreckt, deren erste, zweite,... Potenzen = 1 (mod. Ä-) sind. Setzt 

 man speciell /= i, so ist Z'= i (mod. k), V. r = i, und das allgemeine Re- 



sultat geht über in 



4-S. 



i 



= to lSlo § L 



Wir betrachten jetzt die Summen S log-L für den Fall, wo £ unend- 

 lich klein wird. Was zunächst die den Reihen der zweiten Klasse entspre- 



