Untersuchungen über die Theorie der complexcn Zahlen. 159 



chenden Glieder betrifft, so werden sich diese sämmtlich endlichen Grenzen 

 nähern ; wogegen das der ersten Klasse entsprechende Glied einen unendlich 

 grofsen positiven Werth annimmt, indem dasselbe nach (17) in die Form 



1o S(t) + 1o §^ + ? F ^) 



gebracht werden kann, wo der erste Theil unendlich wird, wahrend der 

 zweite sich einer endlichen Grenze nähert. Wäre nun der endliche Grenz- 

 werth einer Reihe der dritten Klasse der Null gleich, d.h. wäre in (17), 

 A = o, A' = o, so würde sich aus der Vereinigung der zwei Glieder, welche 

 in unserer Summe dieser und der ihr zugeordneten Reihe entsprechen, der 

 Ausdruck 



-2log(-r) + log(«K ? ) 2 +</>'( ? ) 2 ) 



ergeben, nach dessen Verbindung mit dem eben betrachteten die Summe 

 das Glied — log (-j-) darbieten würde, welches einen unendlich grofsen ne- 

 gativen Werth annimmt, und nicht etwa durch log (c/>(£) 2 + </>'(£>) 2 ) aufgeho- 

 ben werden kann, indem dieser letztere Logarithmus sich entweder einer 

 endlichen Grenze nähert oder selbst einen unendlich grofsen negativen Werth 

 erhält. Dies widerspricht unserer obigen Gleichung, deren erste Seite nur 

 positive Glieder enthält, und der hier hervortretende Widerspruch würde 

 offenbar noch verstärkt werden, wenn man die Grenzwerthe für mehr als ein 

 Paar zugeordneter Reihen der dritten Klasse als verschwindend betrachten 

 wollte. Es ist somit, unter Vorbehalt des noch zu leistenden Nachweises für 

 die Reihen der zweiten Klasse, bewiesen, dafs logjL sich immer einer end- 

 lichen Grenze nähert, den einzigen Fall ausgenommen, wenn L die Reihe der 

 ersten Klasse bezeichnet, da für diesen Fall unser Logarithmus über jede 

 positive noch so grofse Zahl hinaus wächst. 



Kehren wir jetzt zur allgemeinen Gleichung (18) zurück, so sehen 

 wii^ dafs die zweite und also auch die erste Seite derselben für ein unendlich 

 klein werdendes £ unendlich wird. Nun bleibt aber die Summe aller auf der 

 ersten Seite vorkommenden Reihen von der zweiten incl. ab, endlich, da, 

 wie leicht zu sehen, -i-S^Ap -+- T^fiycp + ••• noc h endlich ist, wenn man 

 die Summationen nicht, wie es hier geschieht, auf gewisse Primzahlen q be- 

 schränkt, sondern auf alle ganzen Zahlen, deren Norm die Einheit übertrifft, 

 ausdehnt. Es mufs daher die Summe S (jv J l+! über jede endliche Grenze 



