Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze 
unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren 
Grad eine Primzahl ist. 
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H” KUMMER. 
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[Gelesen in der Akademie der Wissenschaften am 11. Juli 1861.] 
Einleitung. 
D:: erste Beweis der allgemeinen Reciprocitätsgesetze für Potenzreste, 
deren Grad eine Primzahl A ist, welchen ich in den Abhandlungen der Aka- 
demie vom Jahre 1859 gegeben habe, stützt sich auf die Theorie gewisser 
Formen des Aten Grades mit A Unbestimmten, in denen die Coeffhicienten 
sowohl, als die Unbestimmten aus Aten Einheitswurzeln gebildete complexe 
Zahlen sind. Diese Formen des ?ten Grades, welche ich als Normen com- 
plexer Zahlen einer höheren Ordnung behandle, stehen mit den allgemeinen 
Reeciprocitätsgesetzen für Ate Potenzreste in einem eben so innigen Zusam- 
menhange, als die quadratischen Formen mit den Reciprocitätsgesetzen für 
die quadratischen Reste, und man kann durch die Theorie derselben nicht 
nur auf dem Wege, welchen ich in der angeführten Abhandlung nach Ana- 
logie des zweiten Gaufsischen Beweises des theorema fundamentale einge- 
schlagen und durchgeführt habe, sondern auch auf anderen und zwar kürzeren 
Wegen zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen gelangen. Die beiden neuen 
Beweise, welche ich aus dieser Quelle herleiten werde, haben ebenso wie 
jener zuerst gegebene ihre analogen, aus der Theorie der quadratischen For- 
men zu schöpfenden Beweise der quadratischen Reciproeitätsgesetze, deren 
kurze Entwickelung ich als Einleitung voranschicken will, um an diesen ein- 
fachsten Beispielen den Gedankengang der folgenden allgemeineren Unter- 
suchung darzulegen. 
Math. Kl. 1861. L 
