82 Kummer: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocilätsgesetze 
Der erste der in dem Folgenden auszuführenden Beweise der allge- 
meinen Reciprocitätsgesetze beruht wesentlich nur auf der Theorie der Ein- 
heiten der, aus den Wurzeln der Gleichungen a =ı und w’ = D(a«) ge- 
bildeten, complexen Zahlen, der analoge Beweis des quadratischen Reci- 
procitätsgesetzes also auf der Pellschen Gleichung !’ — Du’ = ı. Legendre 
hat bekanntlich den einen Fall, wo die zu vergleichenden Primzahlen beide 
von der Forın An +3 sind, durch diese Pellsche Gleichung bewiesen, wäh- 
rend er für die anderen Fälle andere Hülfsmittel aus der Theorie der qua- 
dratischen Formen anwendet, es läfst sich aber dasselbe Princip consequent 
für alle Fälle durchführen, wenn man einige Hülfssätze über die Existenz 
von Primzahlen, die gewisse Bedingungen erfüllen müssen, anwendet, wel- 
che jetzt mit Hülfe der Dirichletschen Methoden vollkommen streng bewie- 
sen werden können. 
Nimmt man in der Pellschen Gleichung 
ir Duo 4 
die Determinante D als eine Zahl von der Form in -+1, so ist nothwendig 
t ungrade und u grade, und diese Gleichung in die Form 
(+ )(E- 1) — Du’ 
gesetzt, ergiebt: 
tH1=3me, ı 2—-1=2mX; 
wo 
mm =D und 2zA=u 
ist. Man erhält hieraus 
1=mx’ — m”. 
Es sind nun so viele verschiedene Fälle zu betrachten, als es verschiedene 
Zerlegungen der Zahl Din zwei Faktoren m und m’ giebt. Nimmt man für 
t und u die kleinsten der Pellschen Gleichung genügenden positiven Zahlen, 
so findet von allen diesen Fällen stets nur ein einziger wirklich Statt, auch 
wird dadurch der Fall, wo m= ı, m'= Dist, ausgeschlossen, weil z und A 
kleiner sind, als 2 undu. Für die eine Gleichung der Form ı= mx” — m’, 
welche wirklich Statt hat, mufs m quadratischer Rest von m’, also auch 
von allen Primfaktoren des m’ sein, und ebenso — m’ quadratischer Rest von 
m, also auch von allen Primfaktoren des m. 
