unter den Resten und Nichtresten der Potenzen. 85 
Wenn nun (Z) —= — 1 ist, so findet nur der zweite dieser drei Fälle Statt, 
q 
und man hat (-) = — 1, wenn aber (Z-) = +1 ist, so kann nur der erste 
q7 L 
oder dritte dieser Fälle Statt haben, der eine so wie der andere ergiebt aber 
alsdann auch es —= + 1,.also: 
Wenn (7)=- soist ()=- 1. 
q q 
Wenn 4 = +1, 7780ist (Z)=+i. 
Zur Vervollständigung dieses Beweises würde noch der Nachweis ge- 
hören, dafs immer Primzahlen der Art existiren, wie sie hier als Hülfszahlen 
angewendet worden sind, ebenso wie zur Vollständigkeit des von Legendre 
gegebenen Beweises noch der Beweis des Satzes gehörte, dafs zu einer jeden 
Primzahl von der Form in-+1ı eine Primzahl der Form in +3 gefunden 
werden kann, für welche jene quadratischer Rest ist; da ich aber hier nicht 
beabsichtige einen neuen Beweis der quadratischen Reciprocitätsgesetze auf- 
zustellen, sondern lediglich ein einfaches und genaues Schema des analogen 
Beweises der allgemeinen Reciprocitätsgesetze zu geben, so würde es über- 
flüssig sein auf den Beweis dieser Hülfssätze einzugehen, welcher durch die 
Dirichletschen Methoden ausgelührt werden kann. 
Der andere neue Beweis der allgemeinen Reciprocitätsgesetze ent- 
spricht keinem der bisher bekannten Beweise für das quadratische Recipro- 
eitätsgesetz; das Prineip, auf welchem derselbe beruht, ist aber ebenso auf 
diesen besonderen Fall anwendbar, und liefert einen neuen und zwar sehr 
einfachen Beweis dieses Fundamentaltheorems, welchen ich hier ebenfalls 
ausführen will, um in ihm die Umrisse der betreffenden allgemeineren Un- 
tersuchung einfach und klar zu zeigen. 
Es seien p und p’ Primzahlen der Form 4n +3, q und g’ Primzahlen 
der Form 4n-+1, und r eine Primzahl, welche sich durch eine quadratische 
Form der Determinante — p darstellen läfst, welche also der Bedingung 
=: 
genügt: so wird im allgemeinen ” nicht durch die Hauptklasse darstellbar 
sein, sondern durch irgend eine andere Klasse der Formen dieser Determi- 
