8S6 Kummer: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reeiprocitätsgesetze 
nante. Es ist aber alsdann nothwendig eine Potenz von r durch die Haupt- 
form x° + py” darstellbar, und der Exponent der niedrigsten, durch die 
Haupform darstellbaren Potenz von r ist ein Theiler der Klassenanzahl der 
quadratischen Formen der Determinante — p, m. s. Gaufs disg. arithm. art. 
305. Diese Klassenanzahl ist aber nothwendig eine ungrade Zahl, weil für 
die Determinante — p aufser der Hauptklasse keine classis anceps existirt 
und aufser dieser einen Hauptklasse alle anderen Klassen, wenn man zu jeder 
ihre entgegengesetzte hinzunimmt, paarweise vorkommen, m. s. Gaufs 
disg. arith. art. 303. Es ist daher auch der Exponent der Potenz, zu 
welcher r erhoben werden mufs, um durch die Hauptform darstellbar zu 
sein, nothwendig ungrade. Bezeichnet man denselben mit 2%+1,so hat man 
z+py'=r *r, 
und diese Gleichung als Congruenz nach dem Modul p betrachtet, zeigt, dafs 
(=) — ı sein mufs, also: 
p 
Wenn (>) =-+1, so ist er) =+1. 
r p 
Nimmt man nun erstens r— p’ von der Form ın +3, und zweitens r—=gq 
von der Form in -+ ı, so hat man: 
Wenn (4)=- so ist (Z)=+1. 
p p 
Wenn (?\= +1, soit(\=-+ 1. 
’ 
q p 
Es sei zweitens r irgend eine Primzahl, welche sich durch quadratische 
Formen der Determinante -+ q darstellen läfst, für welche also 
H)=+ 
ist. Es ist alsdann nothwendig eine bestimmte Potenz von r, deren Expo- 
nent ein Divisor der Klassenanzahl der quadratischen Formen der Determi- 
nante + ist, durch die Hauptform x°— qy” darstellbar, und weil für die 
Determinante + g ebenfalls nur die eine Hauptklasse als classis anceps exi- 
stirt, so ist die Klassenanzahl und folglich auch der Exponent der durch die 
Hauptform darstellbaren Potenz von r eine ungrade Zahl. Bezeichnet man 
denselben mit 2% +1, so hat man 
