unter den Resten und Nichtresten der Potenzen. 87 
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und diese Gleichung, als Congruenz nach dem Modul g betrachtet, giebt 
(-) =4,.also;: 
Wenn ) —-+1, so ist (-)=+ 1. 
Nimmt man nun 7 einerseits als Primzahl p von der Form 4n ++ 3, anderer- 
seits als Primzahl g’ von der Form in -+ 1, so hat man: 
Wenn 4) =-+1, so ist eo) =.E4, 
p q 
Wenn a =-+1, so ist (-)=+ 14 
7 q 
Die hier bewiesenen vier Fälle erschöpfen die quadratischen Reciprocitäts- 
gesetze unter je zwei ungraden Primzahlen vollständig, weil die vier anderen 
Fälle, nämlich: 
Wenn 2) =-+1, so ist Ce) 4, 
BD p 
Wenn (7) =— 1, so ist eo =_—1, 
q p 
Wenn (—) =—1, soiist (2) = 
p q 
Wenn (=) =— 1, so ist > =—ı, 
q q 
aus denselben unmittelbar folgen. 
Der Vortheil, welchen dieser sehr einfache Beweis vor dem obigen 
voraus hat, dafs er keine Hülfssätze über die Existenz von Primzahlen, welche 
gewisseBedingungen erfüllen, nöthig hat, geht in dem allgemeineren Falle ver- 
loren, wo es sich um Ate Potenzreste handelt. Es scheint überhaupt, 
dafs die allgemeinen Reciprocitätsgesetze aus der von mir zu Grunde geleg- 
ten Theorie complexer Zahlen ohne Anwendung solcher Hülfs- Primzahlen 
sich nicht möchten vollständig beweisen lassen; aber diese Theorie liefert 
zugleich auch den Beweis für die Existenz aller dieser Hülfsprimzahlen, so 
dafs der vollkommenen Strenge der Beweise durch deren Anwendung nichts 
vergeben wird. 
