88 Kummer: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze 
Die beiden neuen Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze sind 
besonders auch darum einfacher, als der erste, in den Abhandlungen der 
Akademie vom Jahre 1859 gegebene, weil sie die Betrachtung derjenigen 
besonderen Art complexer Zahlen, welche ich dort als complexe Zahlen in 
z bezeichnet habe, nicht erfordern, sondern lediglich auf der Theorie der, 
aus den Wurzeln der Gleichungen «* = ı und w* = D(«) gebildeten comple- 
xen Zahlen in w beruhen. Die Resultate der in jener Abhandlung entwickel- 
ten Theorie der complexen Zahlen in w werden daher in der gegenwärtigen 
Untersuchung überall ihre Anwendung finden. Da dieselben aber für den 
gegenwärtigen Zweck noch nicht ausreichen, so soll diese Theorie zunächst 
noch in so weit vervollständigt und weiter ausgeführt werden, dafs alsdann 
die allgemeinen Reciprocitätsgesetze mit Leichtigkeit aus ihr gefolgert wer- 
den können. 
St, 
Die complexen Zahlen in w, deren Normen keine anderen 
Primfaktoren enthalten, als die der Determinante D(«) und 
ı — a und Einheiten in «. 
Die complexen Zahlen in w, welche keinen der im $. 4. der ersten 
Abhandlung über die allgemeinen Reciprocitälsgesetze vom Jahre 1859 defi- 
nirten idealen Primfaktoren enthalten, deren Normen also lediglich aus den 
Primfaktoren der Determinante D(«), dem Faktor ı — « = 9 und Einheiten 
in « zusammengesetzt sind, stehen mit den Einheiten in im genausten Zu- 
sammenhange. Dieselben werden aus dem, pag. 111. der genannten Ab- 
handlung aufgestellten Systeme der in der Form 
E(w)Thej lkw) ee) (1.) 
enthaltenen Einheiten abgeleitet, deren Normen gleich Eins sind, und wel- 
che in so fern von einander unabhängig sind, dafs der Quotient je zweier 
derselben niemals eine ote Potenz einer Einheit sein kann. 
Die in dieser Form (1.) enthaltenen Einheiten, deren Anzahl gleich 
A” ist, weil jeder der x Exponenten a, a,, ..... a, , aller Werthe o, ı, 2, 
A — ı erhalten kann, haben noch eine gewisse Unbestimmtheit an sich, da 
sie mit den Potenzen der einfachen Einheit « beliebig multiplieirt genommen 
werden können. Wenn 
