unter den Resten und Nichtresten der Potenzen. 89 
EwW)=A+4w-+ 4% +... + 4 _ 
irgend eine dieser A* Einheiten ist, so hat man 
NEW)=ı=4), mod. D(«), 
also 
(A—ı) (Aa — 1) (Ae’ — 1) .... (Aa — ı)=0, mod. D(a). 
Wenn nun f(«) irgend ein beliebig zu wäblender Primfaktor der Determi- 
nante D(«) ist, so mufs nothwendig einer, und auch nur einer der Faktoren 
dieses Produkts durch f(«) theilbar sein, man hat daher 
a mod. f(«), 
für einen bestimmten Werth des k. Nimmt man nun die Einheit «’ E(w) 
statt E(w), so ist A«* der erste Coelfieient der Entwickelung, welcher dem- 
nach congruent Eins ist, nach dem Modul f(«). Man kann also jede Ein- 
heit, deren Norm gleich Eins ist, durch Multiplieation mit einer passenden 
Einheit «* so einrichten, dafs in ihrer Darstellung als ganze rationale Funktion 
von # das erste, w nicht enthaltende Glied congruent Eins ist, für irgend 
einen beliebig zu wählenden Primfaktor der Determinante als Modul. 
Es sei nun E(w) irgend eine in der Form (1.) enthaltene Einheit, so 
gewählt, dafs in dem Ausdrucke 
EwW) =A+Aw+A,w +... + A4_,#' 
das erste Glied A congruent Eins sei, nach dem als Primfaktor in der De- 
terminante D(«) enthaltenen Modul f(«), so hat der Ausdruck 
PE(w) = ı+ E(w) + E(w) E(wa) + ... + E(w) E(wa) .... E(wa’”?) 
die Eigenschaft, dafs 
E(w) PE(wa«) = PE(w) 
ist. Bezeichnet man diesen Ausdruck PE(w), als ganze rationale Funktion 
von w oder complexe Zahl in w, mit F(w), so hat man 
E(w) F(wa) = F(w). (2.) 
Diese Gleichung würde nichtssagend sein, wenn PE(w) d. i. F(w) gleich 
Null wäre, es ist aber leicht zu zeigen, dafs dieser Fall niemals eintreten 
kann. Ördnet man nämlich den Ausdruck PE(w) nach Potenzen von w, 
ohne von der Gleichung w° = D(«) Gebrauch zu machen, so erhält man 
PEW)=C+Cw+C,w’ + C,w’ +... 
wo 
C=1ı+A+ 2 + Pr... +4", 
Math. Kl. 1861. M 
