90 Kummer: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze 
und man hat 
NPEwW=(", mod. D(«). 
Nach dem Modul f(«), Primfaktor von D(«), ist aber 
AZzı, mod. f(«), 
und folglich 
c=z=\1, mod. f(«), 
also NPEWw)=*', mod. f(«). 
Da nun die Norm von PE(w) nicht congruent Null ist, nach dem Modul 
‚««), so kann sie auch nicht gleich Null sein, und es kann darum auch 
PE(w), d. i. F(w) selbst nicht gleich Null sein. 
Wenn nun die complexe Zahl F(w) irgend einen der definirten idea- 
len Primfaktoren $(w) enthält, so zeigt die Gleichung (2.), dafs auch F(we) 
denselben enthalten mufs, und wenn w in wa, wa’, ..... verwandelt wird, 
dafs auch alle zu F(w) conjugirten complexen Zahlen denselben enthalten 
müssen. Es mufs darum F(w) aufser dem idealen Primfaktor p(w) auch 
alle zu demselben conjugirten enthalten, welche sich zu einem complexen 
Faktor in « zusammensetzen. Weil in derselben Weise alle in F(w) enthal- 
tenen definirten idealen Primfaktoren sich zu complexen Faktoren in « zu- 
sammensetzen, so hat man 
F(w) = Y(a) F,(w), (3.) 
wo F,(w) keinen definirten idealen Primfaktor weiter enthält. Wenn nun 
Y(«) eine wirkliche complexe Zahl in « ist, so mufs auch /', (w) eine wirk 
liche complexe Zahl in w sein, wenn aber Y(«) ideal ist und A bezeichnet 
die Klassenzahl der idealen Zahlen in «, so ist Y(«)' wirklich, und darum 
auch F,(w)‘ wirklich. Die Gleichungen (2.) und (3.) geben alsdann 
E(w) F, (we) =F,(w). 
Bestimmt man nun die Zahlen ö und k so, dafs 
hk=ı-+rii 
ist, welches stets möglich ist, weil 3 nicht durch A theilbar, und erhebt 
zur kten Potenz, so wird 
Er 2, (wo). — Flw) . 
Es ist nun E(w)’ ”, als AtePotenz einer Einheit, deren Norm gleich Eins ist, 
zugleich eine gte Potenz einer solchen Einheit, man kann daher setzen: 
INlan DRE A a: E, (w) 
E(w) =E,(w'= E,(wa) 
