94 Kummer: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze 
sei ferner 
E(w) 
E,(®) 
= E, (w), 
so ist E,(w) ebenfalls eine in derForm (1.) enthaltene Einheit. Dieselbe gebe 
A ih A,(w) 
E,(®) BEAT (wa) ? 
so hat man 
A,(wa) A,(we) ee A, (w) A,(w) 
A(we) Z. A(w) } 
Da dieser Ausdruck ungeändert bleibt, wenn w in wa verwandelt wird, so 
folgt wegen der Irreduktibilität der Gleichung w* — D(«a) = 0, dafs er eine 
symmetrische Funktion aller Wurzeln dieser Gleichung sein mufs und darum 
eine complexe Zahl in «, welche jedoch auch eine gebrochene sein kann. 
Es ist demnach 
A, (») Ar (w) 
A(w) =Y(a), 
und hieraus folgt 
NA,(w) Ni,(w) = Y(a)* NA(w). 
Wäre nun der Quotient der Normen NA(w) und NA, (w) einer Aten 
Potenz gleich, so müfste auch NA, (w) eine Ate Potenz sein, und zwar die 
Ate Potenz einer ganzen complexen Zahl ina, und weil NA,(w) dieselbe 
Form hat, wie NA(w), nämlich 
NA,(w) — 8, (a)"' N era p Pd &,(«)“' ante RO ae 
so müfsten die Exponenten n, ...... ni, Mi cyte 
c,_,, alle einzeln 
durch A theilbar sein. Da die Exponenten n ,n, ...n,_, kleiner als A sind, 
so müfsten diese nothwendig gleich Null sein. Was den Exponenten k be- 
trifft, so müfste dieser ebenfalls gleich Null sein. Um dieses letztere vollstän- 
dig zu beweisen, setze ich die complexe Zahl A, (w) in die Form: 
A,w)=G+G, (—-Ww+G, (1 -Ww’ +... +G_, (1 -w)". 
Wenn nun @, der erste nicht durch g theilbare Coefficient dieser Form ist, 
so hat man: 
A,(w) = (1 — w)' Plw) He Ylw), 
wo 
»(w)=G, +G,, ((-W)+..+G_ U-W, 
also N &®(w) nicht durch 9 theilbar. Aus dieser Form des A, (w) folgt 
Na,(w)=N(1—w)' N®(w), mod. p', 
