96 Kummer: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocilätsgesetze 
Modul A nicht congruente Werthverbindungen zulassen, so folgt, dafs diese 
nicht alle Statt haben können, sondern dafs unter diesen Exponenten gewisse 
einschränkende Bedingungen Statt haben müssen, welche jetzt entwickelt 
werden sollen. 
Wenn man die Zahl A(w), deren Norm den bei (8.) gegebenen Aus- 
„An En, - r 
druck hat, mit w ° multiplieirt, wo n, der Exponent der in der Norm 
enthaltenen Potenz 8” ist, so wird #* 7 ”" A(w) durch, («) theilbar, wennnun 
An 
w " Aw) RN, 
BR, (ir Be 
gesetzt wird, so kommt in der Norm von&'(#) derFaktor ö, («) nicht vor, und 
(«) 2... &._,(e), mit Ausschlufs 
die Exponenten der Potenzen von &(«), d I 
von d, (a) werenA+n—n,A+n, —n,..A+n_,—n,. Nimmt 
man nun in Beziehung auf den in d, (a) enthaltenen Primfaktor f,(«) den In- 
dex, welcher durch Ind, bezeichnet werden soll, so dafs allgemein für jede 
complexe Zahl $(«) 
Nf(e) —1 
ru ©) Ind, $ («) 
dp (a) = en) =«@ ‚ mod. f.(«), 
ist, und bemerkt, dafs die Norm einer jeden complexen Zahl in w in Bezie- 
hung auf jeden Primfaktor der Determinante D(«) einer Aten Potenz con- 
5 ) 
gruent, also der Index derselben congruent Null ist, mod. A, so erhält man: 
—n, )Ind, ö, _,(«) (9.) 
+ kind, ge + cInd, («) + ec, Ind, &,(@)+....+c,_,Ind, e,_, (e), ö 
o=(n—.n, )Ind, d(«)+(n, —n, )Ind, 2, (a) +....+(n 
r—i 
nach dem Modul ?, welche Congruenz, da s die Werthe 0, 1, 2, ... 7 — 1 
haben kann, ein System von r Congruenzen repräsentirt. 
Wenn diese r Congruenzen so beschaffen sind, dafs eine Anzahl 7 der 
Zahlen n, n, ....n,_,k,c,c, .... e,_, durch die x + ı übrigen vollständig 
bestimmt wird, d. h. wenn diese r Congruenzen nicht identisch und von 
einander unabhängig sind, so bleiben von den u +7 + ı Exponenten nur 
# + 1 beliebig, die Anzahl aller verschiedenen Normen von der Form (8.) 
ist alsdann gleich A**', und da dieses genau die Anzahl aller wesentlich ver- 
schiedenen complexen Zahlen A (w) ist, welche aus den Einheiten der Form 
(1.) erzeugt werden können, so folgt, dafs diese alle in der That als Nor- 
men von complexen Zahlen in w darstellbar sein müssen. 
