unter den Resten und Nichtresten der Potenzen. 103 
stellbar ist; denn wenn f(w) eine ideale Zahl ist, deren kAte Potenz als 
wirkliche Zahl in w, u, ... 
offenbar f(w)‘ eine ideale Zahl, deren Ate Potenz diese Eigenschaft hat. 
Es sei nun $(w) eine ideale Zahl, deren Ate Potenz als wirkliche Zahl 
u,_, darstellbar ist, aber keine niedere, so ist 
in u, u, ... u,_, darstellbar ist, ohne dafs sie selbst in dieser Weise darge- 
stellt werden kann, so haben die conjugirten Zahlen p(wa), p(wa’) ..- 
offenbar dieselbe Eigenschaft. Bildet man nun folgende Reihe von idealen 
Zahlen: 
9,(w)=$ (w)’”" $ (wa), 
9.(w) = pw)" P,(we), (1.) 
9,() = $,(w)’”" P,(wa), 
etc. eic. 
so hat man allgemein für jeden Werth des n: 
: — jr! u, Ar 
R—1) 
9,(w)=H(w) P(wa) (wa?) er P(wa”), 
und wenn n—=?% genommen wird, so hat man &,(w) gleich einer Aten Potenz 
einer complexen Zahl, welche nur aus den conjugirten idealen Zahlen #(w), 
b(wa) P(wa’)... zusammengesetzt ist. Es ist daher ®,(w) als wirkliche 
Zahl in u, u, ... w,_, darstellbar. 
Da nun in der Reihe der complexen Zahlen 
a, 9) 9) 2 9), 
die erste als wirkliche Zahl in z, v, ... u,_, nicht darstellbar, die letzte aber 
als solche darstellbar ist, so mufs eine bestimmte Zahl dieser Reihe die erste 
sein, welche diese Eigenschaft besitzt. Dieselbe sei $,,,(w), so ist &, (w) 
nicht als wirklich in w, u, .... w,_, darstellbar, aber $,(w)’"' &, (we) ist dar- 
stellbar. Weil ferner die Ate Potenz einer jeden wirklichen complexen Zahl 
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in u, u, ....u,_, eine wirkliche complexe Zahl in # ist, so ist &, (w” eine 
wirkliche Zahl in w, und weil &, (w)’”"' eben so wie d,(w)’"' $,(wa) als 
wirklich in u, w, ... w,_, darstellbar ist, so ist auch das Produkt derselben, 
Zt 
nämlich #, (w* Fir ®, (wa), eine wirkliche complexe Zahl in w, v,, .... u 
Setzt man nun einfach f(w) statt ©, (w), so hat man: 
For = G(w), 
aa (2.) 
fe) (we) — G, (u, u, "SE u,_,) 
