104 Kummer: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze 
wo G (w) und G, (u, u, .... u,_,) beide wirklich sind. Die Normen dieser 
beiden complexen Zahlen sind, wie die Gleichungen (1.) zeigen, genau aus 
denselben idealen Faktoren zusammengesetzt, dieselben können sich also nur 
durch Einheiten unterscheiden, welche nothwendig Einheiten in « sein müs- 
sen, da diese Normen selbst complexe Zahlen in « sind. Man hat also 
Ela) NG)=WNG, (u) u... u_,). (3.) 
Nimmt man nun 
GwW)=A+Aw+4AwW +... +4_W", 
G lu; u... u. IR lag em 2 
so hat man in Beziehung auf den Modul ö, («) oder f, («) 
NecWw)=4, 
NG, (u, u, ..u_)= a“ sel? mil .d, (a) —n,| BE (rl, 
also 
E(«a) A’ = a“ . Ol ö, (ala ml Yen N | 
und wenn man die Indie nimmt in Beziehung auf f, («): 
Ind, E(«) = (n,—n) Ind, ö(«) + (n,—n,) Ind, d, (@) + .... 
+ (n,—n,_,) Ind, 8._,(«), 2 
nach dem Modul A, fürs= 0, 1, 2, ....r — 1. Drückt man die Einheit 
E(«) durch die Fundamental-Einheiten aus: 
E(«) = a” e,(a)”' e,(e)? u... &,_, (ey, 
so stimmt dieses System von r Congruenzen mit dem Systeme bei (9.) $. 1. 
für den besonderen Werth k = 0 vollständig überein; also wenn die Deter- 
minante D(«) so beschaffen ist, dafs dieses System ein unabhängiges ist, so 
giebt es eine complexe Zahl A(w) von der Art, dafs 
A(w) = RE une ern E(u, U, co. u,_,) 
r 
und 
NA(w) = d(a)" d,(a)"' .... &_,(a)"-' E(a). 
Die Gleichung 
NEUN rail) 
mit (3.) verbunden, giebt 
