106 Kummer: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze 
ohne dafs k nothwendig gleich Null ist, so sind die Exponen- 
ten der niedrigsten Potenzen, zu welchen die idealen Zahlen 
in w erhoben werden müssen, um zu wirklichen complexen 
Zahlen in v,u, .... u,_, zu werden, niemals durch A theilbar. 
SA. 
Zweiter Beweis der allgemeinen Reciprocitätsgesetze. 
Es sei A(w) eine von den ?**' verschiedenen wirklichen complexen 
Zahlen, welche im $. 1. vollständig behandelt worden sind, und zwar sei es 
eine solche, deren Norm den Faktor p nicht enthält, so ist 
NA(w) = $a)" 8, (e)' ... &_, (0)! a’ 8,(a)' .... &,_, (a) (1.) 
und die Exponenten n, 7, sr. 7:00, CE: e,_, genügen den r Con- 
gruenzen: 
0o=(n—n, )Ind, ö(«) + (n, —n, ) Ind, d,(@)+...+(n, _,—n, )Ind, ö, _,(«) y 
+ cInd, (a) + e, Ind,e,(@a)+....+c,_,Ind,s,_,(«), 2.) 
mod. A, fürs=0, 1,2, ....r— 1. Nach dem Satze II. $. 1. sind diefs 
auch die einzigen Bedingungen, denen diese Exponenten unterworfen sind, 
sobald dieses System von m Congruenzen ein unabhängiges ist. 
Setzt man für &(«), d, («)... ihre Werthe e(«) f(«)”, e,(«) f(@)" 'z.. 
in welchen die Primzahlen f(«), f, («) ....in der primären Form ange- 
nommen werden sollen, und setzt aufserdem der Kürze halber 
a 8, (a)! 
eu (a)‘+-' = Ele), 
so kann man die r Congruenzen (2.) auch so darstellen: 
o=3(n,—n,) m, Ind, f,(«) + 3(n,—n,)Ind, e, («) + Ind, E(«), (3.) 
mod. 2, fürs =0, 1, 2, ....r — 1, wo die Summenzeichen $ sich auf die 
Werthe = 0, 1, 2, .... r — ı beziehen. 
Andererseits besteht für A(w), als wirkliche complexe Zahl in w, die 
im $. 14. der Abhandlung v. J. 1859 entwickelte allgemeine Gleichung (29.), 
welche hier, wo f(a) +» f(a) '"' 2... £_,(a)"-'""-! die primäre Zahl 
NA(w) ist, und e(«)” e,(«)"' .... e,_,(a) "-' E(«) die begleitende Einheit, 
und wo die Determinante D(«) in der primären Form gleich f(«)” f,(«)"" 
