108 Kummer: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze 
einander haben, sollen ähnliche Primzahlen genannt werden, wenn aber 
die Verhältnisse dieser beiden Indices nicht für alle Einheiten dieselben sind, 
so sollen sie als unähnliche Primzahlen bezeichnet werden. Da alle 
Einheiten durch die »— ı Fundamentaleinheiten e,(«), &,(«) ... e,_,(@) und die 
einfache Einheit « ausgedrückt werden können, so können die ähnlichen und 
unähnlichen Primzahlen auch so definirt werden: Wenn den u Congruenzen 
Ind « =z Ind (e), 
Inde,(«) =z Ind, &,(«), mod. A, 
Inde,_,(«) = Ind, e,_,(«), 
durch denselben Werth des z genügt wird, so sind die beiden Primzahlen 
‚F(«) und f,(«), auf welche die Indices Ind und Ind, sich beziehen, ähnliche 
Primzahlen, wenn nicht, unähnliche. 
Es wird nun zunächst angenommen, dafs die Determinante D(«) nur 
zwei verschiedene Primfaktoren f(«) und f,(«) enthält, welche überdiefs 
Primzahlen der ersten Art, und zwar unähnliche sein sollen, so ist 
NA(w) — a)" d,(a)”' a“ &,(a)' Hoc Sea (1a 
und die Exponenten n, n,,c, €, .... c,_, genügen den beiden Congruenzen 
(7.) 
o=(n —n,)Ind d,(«)+cInd «+c,Ind ge, («)+..+c,_, Ind e,_,(«), 
o=(n,—n )Ind, d(a)+cInd, a+c, Ind, e,(«)+..+c,_,Ind, e,_,(«). 
Diese beiden Congruenzen sind nicht identisch und von einander unabhängig, 
denn wenn eine derselben identisch erfüllt sein sollte, so müfsten nothwendig 
die Indices aller Einheiten gleich Null sein, also die betreffende Primzahl 
f(«) oder f,(«) eine Primzahl der zweiten Art, und wenn sie von einander 
abhängig sein sollten, so müfste die eine, mit einer bestimmten Zahl multi- 
plicirt, der anderen gleich sein, und darum müfsten ‚f(«) und f,(«) ähnliche 
Primzahlen sein. Aus der Unabhängigkeit dieser beiden Congruenzen folgt 
nach dem Satze II, $. 1, dafs für die Exponenten n, n,, c, €, «... €,_, alle 
Werthe statthaft sind, welche diesen Congruenzen genügen, unter denen 
namentlich auch solche sind, für welche z nicht gleich n, ist. Die Con- 
gruenz (6.), welche in diesem Falle nur aus einem Gliede besteht, nämlich 
(n, —n) m, m (Ind f,(«) — Ind, f(e)) = 0, 
giebt nun, weil 2, — n nicht congruent Null ist, und auch m, und m nicht 
congruent Null: 
