unter den Resten und Nichtresten der Potenzen. 109 
Ind f,(«) =Ind, f(«), (8.) 
oder in den Legendreschen Zeichen: 
LO) _ (SC 
( ) B Ge 
Also: unter je zwei unähnlichen Primzahlen der ersten Art f(«) 
und f,(«) besteht das Reciprocitätsgesetz 
Korro) 
Um das Reciprocitätsgesetz auch zwischen zwei einander ähnlichen 
Primzahlen der ersten Art f(«) und f,(«) zu beweisen, mufs man einen drit- 
ten Primfaktor der Determinante f,(«) hinzunehmen. Es sei also 
D («) = d(«) d,(«) d,(a), 
d&(a)=e(a) fla)”, d,(e) =e,(a) fi(a)"', d,(a) = e,(a) f.(e) 
Es giebt alsdann A* verschiedene Zahlen A(w), für welche 
Ni(w) = $(«)' d, (a) ' d,(a): E(«), 
mn 2 
. 
E(e) = «ee, (a)! .... e,_,(a)“-', 
in denen die Exponenten n, n,, n,, €, €,, ...c,_, folgenden drei Congruen- 
zen genügen müssen: 
(n—n,)Indd,(e)+(n —n,)Ind d,(e) +Ind E(e)=o, 
(n, —n) Ind, ö(«e) + (n, — n,) Ind, d,(«) + Ind, E(«)=o, (9.) 
(n, —n) Ind, d(«) + (n, — n,) Ind, &, («) + Ind, E(e) = 0. 
Weil f(«) und f, («) ähnliche Primzahlen sind, so giebt es eine bestimmte 
Zahl z, welche der Congruenz 
Ind E(«e) = z Ind, E(a), mod.A, 
genügt, für alle verschiedenen Einheiten E(«), also für alle möglichen Werthe 
der Exponenten c, c, .... c,_,, multiplieirt man daher die zweite Congruenz 
mit z und subtrahirt sie von der ersten, so erhält man 
(n — n,) (Ind d,(«) + z Ind, d(«) d,(«)) + 
+ (n —n,) (Ind d,(«) — z Ind, d,(«)) = 0. 
Es soll nun die Primzahl f,(«) so gewählt werden, dafs sie eine Prim- 
zahl der ersten Art sei, und mit f(«), also auch mit f, («) unähnlich, und dafs 
Ind, f(«) — z Ind, f, («) nicht = 0 
(10.) 
