110 Kummer: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze 
sei. Dafs es in der That Primzahlen f,(«) giebt, welche diesen Bedingun- 
gen genügen, folgt unmittelbar aus dem Satze I., $. 16., der Abhandlung 
vom Jahre 1859, nach welchem es unendlich viele Primzahlen giebt, für 
welche die Indices der wirklichen complexen Zahlen 
Te) Ye (a) !, BANEr (GO), are 
beliebig gegebenen Zahlenwerthen proportional sind, nach dem Modul A. 
Setzt man an die Stelle der ersten der drei Congruenzen (9.) die Con- 
gruenz (10.), welche aus der Verbindung der ersten mit der zweiten entstan- 
den ist, und beachtet, dafs f,(«) und f,(«) unähnliche Primzahlen der ersten 
Art sind, für welche die Indices der Einheiten nicht alle gleich Null sind, 
auch nicht alle in demselben Verhältnifs stehen, so erkennt man, dafs diese 
drei Congruenzen von einander unabhängig sind, wenn nur die Congruenz 
(10.) nicht identisch ist. Dafs dieses letztere aber nicht der Fall ist, folgt aus 
Ind, f(«) — z Ind, f,(«) nicht gleich Null, welche Bedingung, weil nach dem 
bereits bewiesenen Falle des Reciprocitätsgesetzes unter je zwei unähnlichen 
Primzahlen der ersten ArtInd, f(«)=1Ind f,(«) undInd, f,(«)=1Ind, f,(e) ist, 
Ind ‚f,(«) — z Ind, f,(e) nicht = 0, 
und wenn mit m, multiplieirt, und Ind e(«) — z Ind, e(«)= 0 hinzuaddirt 
wird, 
Ind d,(«) — z Ind, d,(«) nicht = 0 
ergiebt. Die lineare Congruenz (10.), in welcher der Coefficient von n—n, 
nicht verschwindet, ist darum keine identische. 
Wegen der Unabhängigkeit dieser drei Congruenzen können die Zah- 
len n, n,, n,, C, C,, +... c,_, alle diejenigen Werthe erhalten, welche die- 
sen Congruenzen genügen, und unter diesen sind immer solche, für welche 
n —n, nicht congruent Null ist. 
Die Congruenz (6.) giebt in dem gegenwärtigen Falle, wor =3 ist: 
(n, — n) m,m (Ind f,(«) — Ind, f(«)) 
+(n, — n) m,m (Ind f,(«) — Ind, f(«)) (14.) 
+(n,—n,) m,m, (lad, fs — Ind, f.(@) = 9, 
weil nun vermöge des bereits bewiesenen Falles des Reciprocitätsgesetzes 
zwischen unähnlichen Primzahlen der ersten Art Ind, f,(«)=1nd, f,(«) und 
Ind /,()=Ind, f(«) ist, so bleibt 
