unter den Resten und Nichtresten der Potenzen. 411 
(n, — n) m, m (Ind f, («) — Ind, f(«)) = 0, 
und weil 2 und z, so gewählt werden künnen, dafs n, —n nicht congruent 
Null ist, auch m, und m, nicht congruent Null sind, so folgt 
Ind f,(«) = Ind, f(«), (12.) 
oder nach den Legendreschen Zeichen: 
ı(«) («) 
ver) Sr ar 
Also auch unter je zwei ähnlichen primären Primzahlen der 
ersten Art f(«) und f,(«) besteht das Reciprocitätsgesetz: 
fı(«) f(«) 
1) ar G () 
Es sei jetzt ebenfalls r = 3 und f(«) eine beliebige Primzahl der zwei- 
ten Art, f,(«) eine beliebige Primzahl der ersten Art, /,(«) eine mit f,(«) 
unähnliche Primzahl der ersten Art, für welche Ind, f(«) nicht congruent 
Null ist. 
Die erste der drei Congruenzen (9.) giebt hier, weil die in Beziehung 
auf f(«) genommenen Indices aller Einheiten congruent Null sind: 
(n —n,)m, Ind f, («) + (n — n,)m, Ind f,(«)= 0. (13.) 
Die Congruenz (11.) giebt, weil f.(«) und f.(«) Primzahlen der ersten Art 
sind, für welche das Reciprocitätsgesetz bereits bewiesen ist, 
(n, —n)m, (Ind f,(«)— Ind, f(«)) + (n,—n)m,(Ind f,(«)— Ind, f(«))=o, (14.) 
und wenn die vorhergehende zu dieser addirt wird: 
(rn — n,)m, Ind, f(«) + (n — n,)m, Ind, f(«)= 0. (15.) 
Es giebt nun unter den A* verschiedenen complexen Zahlen A(w), 
deren Normen den Faktor 9 nicht enthalten, nothwendig auch solche, für 
welche nicht zugleichn=n, undn=n, ist; denn diese beiden Congruen- 
zen, verbunden mit den aus (9.) folgenden: 
ce Ind, («) + c, Ind, &, (a) +... +c,_, Ind, &e_,(e)=o, 
ce Ind, (a) + c, Ind, &, (a) +... +c,_, Ind, e,_,(e)=o, 
welche nicht identisch und von einander unabhängig sind, weil f, («) und 
‚f.(«) unähnliche Primzahlen der ersten Art sind, würden, weil unter den 
A + 3 Exponenten n, n,,n,, €, C, .... c,_, vier unabhängige Congruenzen 
n—1 
