112 Kummer: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze 
mod. A beständen, die Anzahl aller wesentlich verschiedenen Zahlen A(w), 
deren Normen den Faktor 9 nicht enthalten, auf A*”! einschränken. 
Wenn daher die Zahl A(w) so gewählt wird, dafs nicht zugleich n=n, 
und n=n, ist, und wenn zunächst derFall betrachtet wird, wolnd, f(eJ)=o 
ist, so zeigt die Congruenz (15.), dafs in diesem Fallen =n, sein muls, 
und weil alsdann n nicht congruent n, ist, so folgt aus der Congruenz (14.) 
Ind f,(«)=0. Also: wenn irgend eine Primzahl der zweiten Art 
Rest einer Primzahl der ersten Art ist, so ist auch diese Rest 
von jener. 
Es sei ferner Ind, f(«) nicht eongruent Null, so ist nach Congruenz 
(15.) auch n —n, nicht congruent Null, und ebenso n —n, nicht congruent 
Null. Die Congruenz (14.) zeigt alsdann, dafs, wenn Ind f,(«) = Ind, f(«) 
ist, auch Ind f,(«) = Ind, f(«) sein mufs, also dafs, wenn das Reciproci- 
tätsgesetz für f,(«) und f(«) gilt, dasselbe auch für f,(«) und f(«) gelten mufs. 
Ich unterwerfe nun die Primzahl f,(«) aufser den bereits festgesetzten 
Bedingungen, dafs sie eine mit f, («) unähnliche Primzahl der ersten Art sei, 
und dafs Ind, f(«) nicht congruent Null sei, noch der Bedingung, dafs alle 
zu f(«) conjugirten Primzahlen Reste von f,(«) sein sollen, f(«) selbst aber 
ein Nichtrest. Ist f(«) ein Primfaktor von g, und g eine Primzahl, welche 
zum Exponenten f gehört, nach dem Modul A, so dafs g’ = ı, mod. A, aber 
keine niedere Potenz von g der Eins congruent ist, so besteht bekanntlich 
f(& nur aus den Perioden von je f Gliedern, welche aus den Wurzeln «, 
@’, 2... @””' gebildet werden können, und wenn? — ı =efist, so giebt es 
e conjugirte Zahlen fo), f(« ) el (4 B wo y eine primilive Wurzel 
von A bezeichnet. Die neu hinzukommenden Bedingungen, welche f,(«) 
erfüllen soll, sind also die, dafs Ind, f(e°), Ind, nl ) seine Ind, fe” ) 
congruent Null sein sollen, aber Ind, f(«) nicht congruent Null. Aus dem 
allgemeinen Satze I. $. 16. der früheren Abhandlung folgt unmittelbar, dafs 
es unendlich viele Primzahlen f,(«) giebt, welche diesen Bedingungen und 
den obigen zugleich genügen, weil die complexen Zahlen 
e—! 
fo); Bis) le R 6, (0) 505 
auf welche sich diese Bedingungen beziehen, die in dem Satze verlangte 
Eigenschaft haben, dafs ein Produkt von Potenzen derselben nicht anders 
