414 Kummer: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze 
dafs die eine eine Primzahl der zweiten Art, die andere der ersten Art ist, 
und dafs Ind, ‚f(«) nicht congruent Null ist. Diese Gleichung zeigt, dafs 
wenn eine der beiden Primzahlen Nichtrest der andern ist, auch diese Nicht- 
rest von jener sein mufs, und hieraus folgt von selbst, dafs wenn die eine 
Rest der andern ist, auch diese Rest von jener sein mufs, so dafs diese Re- 
eiprocitätsgleichung auch gültig bleiben mufs, wenn Ind, f(«) congruent 
Null ist. Also: unter je zwei primären Primzahlen f(«) und f,(«), 
deren eine der ersten, die andere der zweiten Art angehört, 
besteht das Reciprocitätsgesetz 
en ) > = )- 
Um nun endlich noch das Reeciprocitätsgesetz unter je zwei Primzah- 
len der zweiten Art zu beweisen, mufs man complexe Zahlen A(w) anwen- 
den, für welche die Determinante D(«) vier verschiedene Primfaktoren ent- 
hält. Es sei also D(«) = ö(«) 8, («) d,(a) d,(«), ia) und f,(«) zwei belie- 
bige Primzahlen der zweiten Art, und f,(«) und f,(«) zwei Primzahlen der 
ersten Art, 
NA(w) = 8(a)" d,(a)"' 8,(a)”* d,(«)"’ E(e), 
E(«a) = a“ &,(a)' 5908 lo) 
Weil nach den bereits bewiesenen Fällen des Reciprocitätsgesetzes 
Ind, f, («)— Ind, f,(e)=o ist, sobald f,(«) und f, («) nicht beide Primzahlen 
der zweiten Art sind, so bleibt von der allgemeinen Congruenz (6.) hier nur 
das erste Glied stehen, und man hat: 
(n, — n) m, m (Ind f,(«) — Ind, f(«)) = 0, (18.) 
welche Congruenz das gesuchte Reeiprocitätsgesetz giebt, wenn nicht 
n, =nist. Es bleibt also nur noch zu beweisen, dafs die complexe Zahl 
A(w) stets so gewählt werden kann, dafs die Exponenten n und n, nicht 
congruent sind. 
Zu diesem Zwecke unterwerfe ich die beiden Primzahlen der ersten 
Art f,(« und f,(«) noch folgenden näheren Bestimmungen: Die Primzahl 
F.(«) soll so gewählt werden, dafs Ind, f(«) = o ist, aber Ind, f,(«) nicht 
congruent Null, und die Primzahl f,(«) soll so gewählt werden, dals sie der 
Primzahl f,(«) unähnlich ist, und dafs Ind, («) nicht congruent Null ist, 
