unter den Resten und Nichtresten der Potenzen. 115 
aber Ind, f,(«)= 0. Die Existenz solcher Primzahlen f,(«) und f,(«) folgt 
wieder unmittelbar aus dem allgemeinen Satze I. $. 16. der früheren Ab- 
handlung. Weil unter je zwei Primzahlen, deren eine der ersten, die an- 
dere der zweiten Art angehört, das Reciprocitätsgesetz gültig ist, so folgt 
aus diesen für f,(«) und f,(«) festgesetzten Bestimmungen auch Ind /,(e)=, 
Ind, f,(«) nicht congruent Null, und Ind f,(«) nicht congruent Null, 
Ind, f,(e) =. 
Die beiden ersten der vier Congruenzen, durch welche die Exponen- 
ten n, n,, N,,0D,, €, C, «... c,_, bestimmt werden, geben nun, wenn alle 
Glieder weggelassen werden, welche vermöge der über die Primzahlen f(«), 
Fe), f.(@), F,(«) festgesetzien Bestimmungen congruent Null sind: 
(n, —n )m, Ind f,(«)+(n, —n)m, Ind f,(e)=o, 
(n —n,)mInd, f («)+ (n, —n,) m, Ind, f,(«) = 0. 
Wenn nun n=n, wäre, so müfste nach diesen beiden Congruenzen 
aucchn=n, undn, =n, sein, also auch n=n,. Die dritte und vierte 
der Congruenzen, durch welche die Exponenten n, n,,n,,n,,C,C, ...cC,_, 
bestimmt werden, geben in diesem Falle: 
o=cInd, (a) + ec, Ind, e,(a)-++ ....+c,_, Ind, e,_,(«), 
o=clInd, (a) + c, Ind, e,(@) + ....+c,_, Ind, e,_,(«), 
welches zwei nicht identische und von einander unabhängige Congruenzen 
unter den Exponenten c, c, .... c,_, sind, weil f,(«) und f,(«) Primzahlen 
der ersten Art und einander unähnlich sind. Diese beiden Congruenzen mit 
den drei Congruenzenn=n,, n=n,, n=n, würden aber fünf unabhän- 
gige Congruenzen unter den » + 4 Exponenten 2, n,,n,,n,,C,C, “u. C,_, 
ausmachen, durch welche die Anzahl aller möglichen Werthverbindungen 
derselben auf A*"' eingeschränkt werden würde; es würde also nur A*-' we- 
sentlich verschiedene complexe Zahlen A(w) geben, welches absurd ist, da 
die Anzahl derselben gleich A* ist. Es giebt also nothwendig auch solche 
complexe Zahlen A(w), für welche an—n, nicht congruent Null ist. Aus 
der Congruenz (18.) folgt daher nothwendig: 
Ind f,(«)=Ind, FF), 
oder in den Legendreschen Zeichen: 
