416 Kummer: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze 
Also auch unter je zwei primären Primzahlen der zweiten Art 
Fe) und f,(«) gilt dieses Reciprocitätsgesetz. 
Fafst man die bewiesenen besonderen Fälle zusammen, so hat man 
den vollständigen Beweis des allgemeinen Reciprocitätsgesetzes für je zwei 
beliebige primäre complexe Primzahlen f(«) und f, («): 
Fı(e) fe) 
Se) )= (= («) 
S.5. 
Dritter Beweis der allgemeinen Reciprocitätsgesetze. 
Wendet man den im $. 3. bewiesenen allgemeinen Satz zunächst auf 
den besonderen Fall an, wo die Determinante D(«) der complexen Zahlen 
in nur einen Primfaktor enthält, also D(«)=e(«) f(«)” ist, so zeigt der- 
selbe, dafs die Exponenten der niedrigsten Potenzen, zu welchen die idealen 
Zahlen in w erhoben werden müssen, um zu wirklichen complexen Zahlen 
in w zu werden, niemals durch A theilbar sind, sobald die Congruenz 
o=klIndg +c Ind («)+c, Ind e,(a) + ....+c,_, Ind e,_,(«) 
nicht identisch erfüllt ist, und für X auch andere Werthe als k = o zuläfst. 
Diese beiden Bedingungen sind offenbar erfüllt, wenn /(«) eine Primzahl 
der ersten Art ist. 
Es sei also ‚f(«) eine primäre complexe Primzahl der ersten Art, fer- 
ner sei &(«) eine beliebige andere primäre complexe Primzahl der ersten Art, 
so kann man die in D(«) = e(«) f(«)” enthaltene Einheit e(«) stets so be- 
stimmen, dafs 
e (a) f(&)"\ _ 
( >(@) ) Eh (1.) 
ist, welche Gleichung die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür 
ist, dafs #(«) in A ideale, complexe Primfaktoren in w zerlegbar sei. Essei 
demnach $(w) ein idealer Primfaktor von # (a), und H der Exponent derje- 
nigen Potenz, zu welcher $(w) erhoben werden mufs, damit $(w)” eine 
wirkliche complexe Zahl in w sei, so ist H nicht durch A theilbar. Es sei 
ferner 
New” =#(@" E(e), 
so hat man vermöge der im $. 14. der Abhandlung v. J. 1859 entwickelten 
allgemeinen Bedingung (29.), welcher alle wirklichen complexen Zahlen in 
