118 Kummer: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze 
noch in dem Falle befriedigt, dafs —— = ıist. In diesem Falle findet 
also ebenfalls das Reciprocitätsgesetz Statt: Wenn eine primäre Prim- 
zahl der ersten Art ein Ater Potenzrest einer primären Prim- 
zahl der zweiten Art ist, so ist auch diese ein Ater Potenzrest 
von jener. 
Zu dem Beweise der übrigen Fälle des allgemeinen Reeciprocitätsge- 
setzes sind complexe Zahlen in w anzuwenden, deren Determinante zwei ver- 
schiedene Primfaktoren enthält. Es sei also 
D(«)=8(a) d,(a)=e(a) fo" -e,(a) file)”, 
wo fia) und f,(«) primär, m und m, nicht durch A theilbar, und so gewählt 
sein sollen, dafs f(«)” und f,(«)”' wirklich sind. Ferner soll /(«) eine 
Primzahl der zweiten Art sein, ‚f,(«) einePrimzahl der ersten Art, und zwar 
eine solche, welche Nichtrest von f(«) ist, so dafs Ind f,(«) nicht congruent 
Null ist. 
Nach dem im $. 3. bewiesenen allgemeinen Satze sind nun die klein- 
sten Exponenten der Potenzen, zu welchen die idealen Zahlen in w erhoben 
werden müssen, um als wirkliche complexe Zahlen in v, u, darstellbar zu 
werden, niemals durch A theilbar, sobald die beiden Congruenzen 
o=(n,—n )Ind d,(@)+kInd g-+cInd (a)+c, Ind &, («)-+..+c,_,Ind &,_,(a), 
o=(n —n,)Ind, ö«)+kInd,g-+cInd, (a)+c, Ind, cı(«)+..+c,_,Ind,e,_,(e), 
nicht identisch und von einander unabhängig sind, und für k auch andere 
Werthe zulassen, als k=o. Die erste dieser Congruenzen giebt, weil f(«) 
eine Primzahl der zweiten Art ist, für welche die Indices aller Einheiten 
congruent Null sind: 
o=(n, —n) m, Ind f,(«) + kInd;, 
dieselbe ist nicht identisch erfüllt, weil Ind f,(«) nicht congruent Null ist. 
Ebenso ist auch die zweite nicht identisch erfüllt, weil f,(«) eine Primzahl 
der ersten Art ist, für welche die Indices der Einheiten «, e,(@) .... €,_,(@) 
nicht alle congruent Null sind, und aus demselben Grunde ist auch die zweite 
von der ersten unabhängig. Nach den über f(«) und f, (a) festgesetzten Be- 
stimmungen sind also die Exponenten der niedrigsten Potenzen, zu welcher 
die idealen Zahlen in w erhoben werden müssen, um als wirkliche complexe 
Zahlen in v, u, darstellbar zu sein, hier niemals durch A theilbar. 
