120 Kummer: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze 
Wendet man anstatt der Legendre’schen Zeichen die Zeichen der In- 
dices an, und bezeichnet den in Beziehung auf die Primzahl #(«) genomme- 
nen Index durch ind, die in Beziehung auf f(«) und f,(«) genommenen wie 
oben durch Ind und Ind,, so kann man die gefundenen vier Gleichungen 
(5.), (6.), (7.) und (8.) auch so darstellen :: 
ind e(«) + ind e,(«) + m ind f(«) + m, ind f,(«)=, (9.) 
HlInd $(«) +Ind E(«) — (n—n,)Inde,(e)—(n—n,)m, Indf,(«)=, (10.) 
HiInd, $(«)+Ind, E(«)+(n—n,)Ind, e(«)+(n—n,)mInd, f(«)=0, (11.) 
m,(n —n,) Ind, e() —m(mn—n,) Ind e,(«) + m Ind E(«) + 
+m Ind, E(a) — Hind e(«) — Hinde,(e) =. (22 
Diese vier Congruenzen der Reihe nach mit H, — m, — m,, ı multiplieirt 
und addirt, geben: 
mH (ind f(«) — Ind 9(@) + m, H (ind f,(«) — Ind, H(«)) + 
-+ mm, (n—n,) (Ind f,(«) — Ind, fo) =. 
Es sei nun zunächst $ («) eine Primzahl der ersten Art, so gilt für die 
beiden Primzahlen f,(«) und 9(«) das Reciprocitätsgesetz ind f,(«) = 
Ind, #(e). Die Congruenz (13.) wird daher 
H (ind f(«) — Ind #(«)) + m, (n—n,) (Ind f,(«) — Ind, f(e)) =. (14.) 
Ferner, weil f(«) eine Primzahl der zweiten Art ist, für welche die Indices 
aller Einheiten congruent Null sind, giebt die Congruenz (10.) 
(13.) 
H Ind $(«) — m, (n—n,) Ind f,(e) =, (15.) 
und wenn diese Congruenz zur vorhergehenden addirt wird: 
H ind f(«) — m, (n—n,) Ind, f(e) =. (16.) 
DiePrimzahl $(«) wird nun aufser den bereits festgesetzten Bedingun- 
gen, dafs sie eine Primzahl der ersten Art sei, und dafs (5 
yo. sei, d.i. 
ind D(«) = 0, noch der Bedingung unterworfen, dafs alle zu f(a) conjugir- 
ten Zahlen Reste von $(«) sein sollen, aber f(«) selbst ein Nichtrest, wel- 
chen Bedingungen vermöge des allgemeinen Satzes I. $. 16. der Abhandlung 
v. J. 1559 stets genügt werden kann. Die eine Reciproeitätsgleichung 
zwischen $(«) und f(«), welche die Kreistheilung gewährt, (16.) $. 4., giebt 
alsdann in derselben Weise, wie diefs in dem ersten Beweise pag. 154. der Ab- 
handlung von 1859, so wie auch in dem betreffenden Passus des zweiten 
Beweises näher entwickelt worden ist: 
ind /(«) = Ind $(e). 
