unter den Resten und Nichtresten der Potenzen. 121 
Die Congruenz (14.) wird demnach 
m, (n — n,) (Ind f,(«) — Ind, f(e)) = 0. (17.) 
Es ist nun n —n, nicht congruent Null; denn wären —n, =0, so 
müfste, da F nicht congruent Null ist, vermöge Congruenz (16.), ind f(«) 
= 0 sein, welches der Voraussetzung widerspricht, dafs f(«) Nichtrest von 
h(«) ist. Da überdiefs m, nicht durch A theilbar ist, so folgt: 
Ind f,(«) = Ind, f(«e), (18.) 
oder nach den Legendreschen Zeichen: 
Fı («) f («) 
7) nr (ve 
wo die Primzahl der zweiten Art f(«) ganz beliebig, die Primzahl der ersten 
Art f,(«) aber nur der einen Bedingung unterworfen ist, dafs Ind f,(«) nicht 
congruent Null ist. Dieselbe Congruenz (18.) ist aber, nach dem bereits be- 
wiesenen besonderen Falle des Reciprocitätsgesetzes zwischen einer Prim- 
zahl der zweiten und einer der ersten Art, auch richtig, wenn Ind f\(«) = 0 
ist, so dafs auch diese Einschränkung wegfällt. Also: unter je zwei 
primären complexen Zahlen f(a) und f,(«), deren eine der er- 
sten Art, die andere der zweiten Art angehört, besteht das 
Reciprocitätsgesetz 
fe) \ _ (FO 
( fe) ) 28 (* (e) 4° 
Um nun noch für je zwei primäre Primzahlen der zweiten Art das 
Reciprocitätsgesetz zu beweisen, nehme ich $(«) als eine Primzahl der zwei- 
ten Art, während f‘(a) und f,(«) die ihnen oben beigelegte Bedeutung be- 
halten, nach welcher f(«) Primzahl der zweiten Art, f, («) Primzahl der ersten 
Art ist und Ind f, («) nicht congruent Null. 
Die Congruenz (13.) giebt nun, weil nach dem so eben bewiesenen 
Falle des Reciprocitätsgesetzes Ind f,(a) = Ind, f(«) und ind f,(«) = 
Ind, $(«) ist: 
mH (ind f(a) — Ind $(e)) = 0, 
und weil weder m noch H durch A theilbar ist: 
ind f(«) = Ind $(«), 
oder nach den Legendreschen Zeichen: 
Gr 
Math. Kl. 1861. Q 
