in’s Besondere über die der ersten und zweiten Ordnung. 7 
denn den durch einen Punkt gehenden » Strahlen des ersten Systems ent- 
sprechen in dem polaren Systeme n in einer und derselben Ebene liegende, 
und den k in einer Ebene liegenden Strahlen entsprechen in dem polaren 
Systeme % durch einen und denselben Punkt gehenden Strahlen. Die 
Brennfläche des reciprok-polaren Systems wird die reciprok-polare Fläche 
der Brennfläche des gegebenen Systems, weil die Bedingung, dafs eine 
grade Linie eine Fläche zweimal berühre in dem reciprok-polaren Systeme 
erhalten bleibt. 
Für die möglichst einfache analytische Darstellung der Strahlen- 
systeme, namentlich da, wo es darauf ankommt, alle Strahlensysteme einer 
bestimmten Ordnung und Klasse zu erschöpfen, ist es vortheilhaft, alle 
diejenigen Strahlensysteme, welche durch collineare Verwandlung in ein- 
ander übergehen, durch ein einziges derselben zu repräsentiren, welches 
immer so gewählt werden kann, dafs es 15 Constanten weniger enthält, 
als das allgemeinste, alle collinearen zugleich umfassende System. Dieses 
einfachere System zeigt alsdann alle wesentlichen Eigenschaften der ganzen 
Gruppe der mit ihm collinearen Systeme; denn bei einer collinearen Ver- 
wandlung bleibt die Ordnung und die Klasse des Strahlensystems unver- 
ändert, und auch alle singulären Punkte und singulären Ebenen des Systems 
bleiben im wesentlichen unverändert bestehen, da die ihnen zugehörigen 
Strahlenkegel und ebene Strahleneurven denselben Grad und dieselben Sin- 
gularitäten behalten. Die Brennflächen der collinearen Systeme sind nur 
collineare Flächen desselben Grades und mit denselben Singularitäten. Der 
Übergang von einem bestimmten Strahlensysteme, dessen Bestimmungs- 
stücke x, y, 2, & n, Z sind, zu dem allgemeinsten collinearen Systeme mit 
den Bestimmungsstücken &', y', 2’, &', 7, 2’ wird gemacht, indem für x, y, 2, 
&, m $ folgende Werthe eingesetzt werden: 
RD zung) SERBET; 
er SFT, Dr: ja 
E=sp—ps, 1=sg gs, g=sr —rs, 
wo 
yzaa+ay+a2 +0, pP=afran+af), 
gebe +rby+b,.+b,, geberbi+bt, 
r=za+oyto7!+c, r=ce+c1+«L, 
sed +dy+dr rd, s=de+dn+dt, 
