8 Kummer über die algebraıschen Strahlensysteme, 
8.2. 
Die Strahlensysteme erster Ordnung. 
Da in einem jeden Strahlensysteme erster Ordnung durch einen 
beliebigen Punkt x, y, z nur ein Strahl geht, so müssen die Verhältnisse 
der drei Gröfsen &, , &, welche die Richtung dieses Strahles bestimmen, 
eindeutige algebraische, also rationale Funktionen der drei Coordinaten des 
Ausgangspunktes x, y, z sein. Man kann daher die beiden in Beziehung 
auf &, , £ linearen und homogenen Gleichungen: 
PE+Qh+-Rd=0, UE+ nn +-M =0, 
in welchen P, Q, R, U, V, W ganze rationale Funktionen von 2, y, 2 sind, als 
die allgemeinste Form der beiden ursprünglichen Gleichungen eines jeden 
Strahlensystems erster Ordnung wählen. Als nothwendige und zugleich 
hinreichende Bedingung dafür, dafs diese beiden Gleichungen in der That 
ein Strahlensystem erster Ordnung bestimmen, kommt aber hinzu, dafs 
diese beiden Gleichungen mit allen aus ihnen abgeleiteten Gleichungen im 
Einklange sein müssen, das heilst, dafs alle diese Gleichungen für beliebige 
Werthe des &, y, z dieselben Werthe der Verhältnisse Z: :< ergeben 
müssen. Die vollständige Lösung der Aufgabe, alle Strahlensysteme. erster 
Ordnung zu finden, vom rein algebraischen Gesichtspunkte aus aufgefafst, 
besteht also darin, die sechs ganzen rationalen Funktionen P, Q, R, U, V, 
W auf alle möglichen Weisen so zu bestimmen, dafs sie der angegebenen 
Bedingung genügen. Es erscheint aber angemessener und leichter, die 
Lösung dieser Aufgabe auf folgendem mehr geometrischen Wege zu finden. 
Da die Brennfläche eines jeden algebraischen Strahlensystems defi- 
nirt ist: als der geometrische Ort aller derjenigen Punkte des Raumes, von 
welchen zwei unendlich nahe Strahlen des Systems ausgehen, bei einem 
Strahlensysteme erster Ordnung aber stets nur ein Strahl von einem Punkte 
ausgeht, und wenn zwei von demselben ausgehen stets unendlich viele von 
ihm ausgehen müssen, so folgt, dafs jeder Punkt der Brennfläche ein sin- 
gulärer Punkt des Systems sein mufs, von welchem ein Strahlenkegel aus- 
seht. Hieraus folgt weiter, dafs anstatt der Brennflächen hier nur Brenn- 
curven auftreten können; denn ginge von jedem Punkte einer Fläche ein 
Strahlenkegel aus, so wäre das Strahlensystem nothwendig ein dreifach 
unendliches. Also: 
