in’s Besondere über die der ersten und zweiten Ordnung. 9 
I. Die Strahlensysteme erster Ordnung haben nur Brenn- 
curven anstatt der Brennflächen. | 
Es sind nun die beiden Fälle zu unterscheiden, erstens wo das 
Strahlensystem erster Ordnung eine einzige, beide Schalen der Brennfläche 
zugleich vertretende Raumeurve zur Brenncurve hat, welche von allen 
Strahlen des Systems zweimal geschnitten wird, und zweitens, wo zwei 
getrennte Brennceurven vorhanden sind, deren jede von allen Strahlen des 
Systems einmal geschnitten wird. 
Wenn eine einzige Brenncurve vorhanden ist, welche von allen 
Strahlen des Systems zweimal geschnitten wird, so mufs angenommen 
werden, dafs dieselbe eine irreduktible sei; denn bestände sie aus mehreren 
Curven, so hätte man nur die jeder einzelnen irreduktibeln Curve ange- 
hörenden Strahlensysteme zu betrachten. Die von einem beliebigen Punkte 
des Raumes ausgehenden Strahlen des Systems sind diejenigen graden 
Linien, welche durch diesen Punkt gehen und die Brenncurve zweimal 
schneiden, sie geben also genau die Richtungen der scheinbaren Doppel- 
punkte der Brenncurve, wenn sie von diesem Punkte aus betrachtet wird. 
Die Ordnung des vollständigen, dieser Brenncurve angehörenden Strahlen- 
systems stimmt also genau mit der Anzahl der schembaren Doppelpunkte 
dieser Curve überein. Da die Raumeurven dritten Grades stets einen und 
nur einen scheinbaren Doppelpunkt haben, so folgt, dafs die Strahlen- 
systeme, welche eine Raumeurve dritten Grades zur Brenncurve haben, 
und aus allen dieselbe zweimal schneidenden graden Linien bestehen, 
Systeme erster Ordnung sind. Schneidet man ein solches System durch 
eine beliebige Ebene, so wird die Brenncurve in drei Punkten geschnitten, 
und die drei Verbindungslinien dieser drei Punkte sind die in dieser Ebene 
liegenden Strahlen des Systems; welches somit von der dritten Klasse 
ist. Also: 
II. Alle graden Linien, welche eine Raumcurve dritten Gra- 
des zweimal schneiden, bilden ein Strahlensystem erster 
Ordnung und dritter Klasse. 
Um diese Art der Strahlensysteme erster Ordnung allgemein durch 
Gleichungen darzustellen, setze ich 
Math. Kl. 1866. B 
