10 KuUMMERr über die algebraischen Strahlensysteme, 
pPzn+ay+az7ra, rw +cy+o?7+c, 
gebirby+b,7+b, s=ede+d, y+d,7+d,. 
Die drei Gleichungen: 
r—-3=0, p-qr=0, ’-pr=0, 
stellen alsdann die allgemeinsten Gleichungen aller Raumeurven dritten 
Grades dar, und zwar rein, ohne begleitende grade Linie. Es seien nun 
2, y, z die Coordinaten eines beliebigen Punktes im Raume, so sind 
s+gE, y+on, 2+g, für alle Werthe des g, die Coordinaten aller Punkte 
der graden Linie, welche in der, durch &, n, bestimmten Richtung vom 
Punkte x, y, z ausgeht. Damit diese grade Linie die Raumeurve zwei- 
mal schneide, mus !=x+g£, y=y+on, ?=z+2$ sein, für zwei Werthe 
des g also die drei in Beziehung auf 9 quadratischen Gleichungen, welche 
man erhält, indem man diese Werthe «, y', z in die drei Gleichungen 
der Curve dritten Grades einsetzt, müssen alle drei dieselben zwei Wurzeln 
haben. Diese Bedingung giebt die Gleichungen des Strahlensystems: 
PE+Qh+R=0, UE+M+-M=0, 
P=a r"—g)+b (ps —g)+ec ("—pr), 
Qa=a eg) +b gr) + (Pr) 
R=a, (r’— gs) +b, (ps — gr) +, (9 — pr), 
U=b (r"—g)+ec (p—g)+d (g’— pr), 
V=be’—g)+e(p— gr) +d, (pr) 
Web, g)+c,(p— gr) +d, (pr). 
Jede dieser beiden, in Beziehung auf x, y, z quadratischen Gleichungen 
des Strahlensystems hat nur eine abgeleitete Gleichung, da die beiden 
zweiten abgeleiteten Gleichungen identisch erfüllt sind, und diese beiden 
abgeleiteten werden durch die beiden ursprünglichen Gleichungen von 
selbst erfüllt. Für alle Punkte der Brenncurve werden die beiden ur- 
sprünglichen Gleichungen identisch erfüllt, und die mit einander überein- 
stimmenden beiden abgeleiteten, welche in Beziehung auf £, n, & vom 
zweiten: Grade sind, geben alsdann den, jedem Punkte der Brenncurve 
angehörenden Strahlenkegel zweiten Grades. 
Die Raumcurven dritten Grades sind die einzigen, welche nur einen 
scheinbaren Doppelpunkt haben, alle Raumeurven höherer Grade haben 
deren mehrere. Es mufs daher jedes vollständige Strahlensystem, welches 
