12 KUMMEr über die algebraischen Strahlensysteme, 
III. Alle eine irreduktible Raumeurve zweimal schneidenden 
graden Linien, von denen jedoch diejenigen auszunehmen 
sind, welche durch einen wirklichen Doppelpunkt der 
Brenncurve gehen und dieselbe nicht noch in einem an- 
deren Punkte schneiden, bilden stets ein einziges irre- 
duktibles Strahlensystem. 
Da ferner jede Raumeurve eines höheren als des dritten Grades, auch 
wenn sie wirkliche Doppelpunkte hat, doch stets mehr als einen schein- 
baren Doppelpunkt hat, und da die Anzahl der scheinbaren Doppelpunkte 
den Grad des dieser Curve angehörenden Strahlensystems bestimmt, so 
folgt nun mit Sicherheit: 
IV. Aufser den Strahlensystemen mit einer Brenneurve dritten 
Grades giebt es keine anderen Strahlensysteme erster 
Ordnung, welche eine, beide Schalen der Brennfläche zu- 
gleich vertretende, irreduktible Brenncurve haben. 
Es sind nun noch diejenigen Strahlensysteme erster Ordnung zu unter- 
suchen, welche zwei verschiedene Brenncurven haben, und deren Strahlen 
alle sowohl die eine, als auch die andere Brenncurve schneiden. Jede 
der beiden Brenncurven, deren eine vom Grade m, die andere vom Grade 
n angenommen werden soll, ist als eine irreduktible Curve anzusehen; 
denn wenn eine derselben aus Curven niederer Grade bestände, so würde 
ein solches Strahlensystem von selbst in mehrere besondere Strahlen- 
systeme zerfallen. Von einem jeden beliebigen Punkte der Brenncurve 
des Grades m geht ein Strahlenkegel nten Grades aus, welcher durch die 
Brenncurve nten Grades hindurchgeht und welcher irreduktibel ist, weil 
die Curve nten Grades, welche auf ihm liegt, eine irreduktible ist. Alle 
auf einem solchen Kegel liegenden Strahlen gehören also einem und dem- 
selben irreduktibeln Strahlensysteme an. Läfst man nun den Mittelpunkt 
dieses Kegels auf der Curve mten Grades sich continuirlich bewegen, so 
erhält man eine continuirliche Schaar von Strahlenkegeln nten Grades, 
deren Strahlen alle einem und demselben irreduktibeln Systeme ange- 
hören müssen. Alle Strahlen dieser Schaar von Strahlenkegeln zusammen 
umfassen aber alle graden Linien, welche beide Brenncurven zugleich 
schneiden, mit alleiniger Ausnahme derjenigen graden Linien, welche durch 
