in's Besondere über die der ersten und zweiten Ordnung. 13 
einen Durchschnittspunkt der beiden Brenneurven gehen, wenn ein solcher 
vorhanden ist. Jede beliebige durch einen Durchschnittspunkt der beiden 
Brenneurven gehende grade Linie erfüllt die Bedingung beide Brenneurven 
zu schneiden, gehört also mit zu dem vollständigen Strahlensysteme, 
welches diese beiden Brenncurven hat; die durch einen Durchsehnitts- 
punkt gehenden graden Linien bilden aber für sich ein Strahlensystem 
erster Ordnung, welches sich von dem vollständigen Strahlensysteme los- 
trennen läfst. Nimmt man nun einen beliebigen Punkt im Raume und 
construirt von demselben aus die beiden Kegel mten und nten Grades, 
deren jeder durch eine der beiden Brenneurven hindurchgeht, so schnei- 
den sich diese beiden Kegel in m.n graden Linien, welche die beiden 
Brenneurven zugleich schneiden. Das vollständige Strahlensystem ist also 
von der Ordnung m.n; wenn aber die beiden Brenncurven sich in # 
Punkten schneiden, so lösen sich von dem vollständigen Strahlensysteme 
« Strahlensysteme erster Ordnung ab, und es bleibt ein irreduktibles 
Strahlensystem der Ordnung mn — a übrig. Ein Strahlensystem erster 
Ordnung mit zwei verschiedenen Brenncurven kann also nur unter der Be- 
dingung bestehen, dafs mn —#—=1 ist, d.h. dafs die beiden Brenncurven 
eine Anzahl von Durchschnittspunkten haben, welche um Eins kleiner ist, 
als das Produkt ihrer Grade. 
Um nun weiter zu untersuchen ob, oder unter welchen Bedingungen 
zwei Raumcurven mten und nten Grades mn — 1 Durchschnittspunkte 
haben können, ohne in eine einzige Curve zusammenzufallen, lege ich 
durch die Curve nten Grades eine von denjenigen Kegelflächen n — Iten 
Grades, deren Mittelpunkt auf der Curve selbst liest. Die Curve mten 
Grades, welche nach der Voraussetzung die Curve nten Grades in mn—1 
Punkten schneidet, mufs also auch diesen Kegel n — Iten Grades min- 
destens in mr —1 Punkten schneiden; die Anzahl der Durchschnitts- 
punkte der Curve mten Grades mit dem Kegel n— lten Grades ist aber 
m(n — 1), es mufs also m(n— 1) Zmn—1 sein, wenn die Curve mten 
Grades nicht ganz in dem Kegel n— Iten Grades liegen soll. Das letz- 
tere ist aber nicht möglich, denn da dasselbe von jedem der unendlich 
vielen Kegel n — Iten Grades gelten würde, welche man für die Curve 
nten Grades construiren kann, so mülste die Curve mten Grades auf 
jedem dieser Kegel liegen, also ganz mit der Curve nten Grades zusammen- 
