16 Kummer über die algebraischen Strahlensysteme, 
bildet. Da hierbei eine grade Brennlinie wieder zu einer graden Brenn- 
linie, eine krumme Brennlinie aber zu einer abwickelbaren Brennfläche 
wird, so folgt, dafs alle Strahlensysteme erster Klasse nur grade Linien 
zu Brennlinien und nur abwickelbare Flächen zu Brennflächen haben 
können. 
Das Strahlensystem erster Ordnung und dritter Klasse, welches 
eine Brenneurve dritten Grades hat, giebt als polares System ein Strahlen- 
system dritter Ordnung und erster Klasse welches eine abwickelbare Fläche 
vierten Grades zur Brennfläche hat, und aus allen diese Fläche zweimal 
berührenden graden Linien besteht. Eine beliebige Ebene schneidet aus 
dieser Brennfläche eine Curve vierten Grades mit drei Spitzen aus, und 
eine solche hat in der That nur eine einzige Doppeltangente, welche den 
einen in dieser Ebene liegenden Strahl giebt. Die Durchschnittslinien 
der drei Ebenen, welche den von einem beliebigen Punkte des Raumes 
ausgehenden einhüllenden Kegel dieser abwickelbaren Brennfläche vierten 
Grades ausmachen, sind die drei von diesem beliebigen Punkte ausgehen- 
den Strahlen des Systems, welche die Brennfläche zweimal berühren. 
Die Strahlensysteme erster Ordnung und nter Klasse, welche eine 
grade Brennlinie und eine dieselbe » — 1 mal schneidende Brenneurve nten 
Grades haben, geben als polare Systeme Strahlensysteme nter Ordnung und 
erster Klasse, mit einer graden Brennlinie und einer abwickelbaren Brenn- 
fläche der nten Klasse, welche von der Brennlinie in n — 1 Punkten berührt 
wird. Von allen die grade Brennlinie schneidenden und die abwickelbare 
Brennfläche berührenden graden Linien sondern sich hier n— 1 Strahlen- 
systeme Oter Ordnung und Iter Klasse los. Alle von einem beliebigen 
Punkte der graden Brennlinie ausgehenden, die abwickelbare Brennfläche be- 
rührenden graden Linien liegen nämlich hier auf n Ebenen, von denen die- 
jenigen n — 1, welche die abwickelbare Fläche in ihren n — 1 Berührungs- 
punkten mit der graden Brennlinie berühren, für alle Punkte der graden 
Brennlinie unverändert dieselben bleiben, und so die an— 1 besonderen 
Strahlensysteme Oter Ordnung und erster Klasse geben. Schneidet man 
das System durch eine beliebige Ebene, so wird aus der Brennfläche eine 
Curve nter Klasse ausgeschnitten, welche von 2 durch den Durchschnitts- 
punkt dieser Ebene mit der graden Brennlinie gehenden graden Linien 
berührt wird; von diesen die Prennlinie schneidenden und die Brennfläche 
