20 Kummer über die algebraischen Strahlensysteme, 
Durchschnitt die beiden vom Punkte 2, y, z ausgehenden Strahlen giebt, 
müssen sich also berühren; wenn der Punkt x, y, z auf der Brennfläche 
liegt. Diese Bedingung wird bekanntlich durch die Gleichung 
ABBP 
RB,D,Q 
> BD, 
P,Q, R, 0 
ausgedrückt, welche mithin die Gleichung der Brennfläche ist. Da man 
mit Ausnahme des einen in dem Satze (VI.) angegebenen besonderen Falles, 
anstatt der Gleichung (2.) auch die erste abgeleitete der Gleichung (1.) 
nehmen kann, so kann man im Allgemeinen die Gleichung der Brennfläche 
auch in folgender Form darstellen: 
dB), die dQ dR ap P 

ar ee a? 
dP . da aa taR idR 
(6) RT 
dR a2 dQ dR dR 
rer 2 RE 
P, Q, Rs; 0 
Diese Gleichungen stellen aber im Allgemeinen die Brennfläche nicht rein 
dar, sondern sie sind gewöhnlich noch mit überflüssigen Faktoren behaftet, 
welche gewisse Nebengebilde der Brennfläche geben, von denen sie befreit 
werden mufs, wie in den Folgenden gezeigt werden wird. Auch in den- 
jenigen Fällen, wo die Strahlensysteme zweiter Ordnung Brenncurven an- 
statt der Brennflächen haben, sind diese Brenncurven in diesen allgemeinen 
Ausdrücken der Brennfläche mit enthalten, und zwar als Doppelcurven 
dieser durch die Gleichungen (5.) oder (6.) gegebenen Fläche, da das 
Hindurchgehen eines Strahls durch eine Doppelcurve einer Fläche, als ein 
Schneiden in zwei unendlich nahen Punkten der Fläche einer Berührung 
gleich zu erachten ist, und demnach die Bedingung, dafs jeder Strahl des 
Systems die Brennfläche zweimal berühren mufs, auch dadurch erfüllt wird, 
dafs er dieselbe nur einmal berührt und ausserdem durch eine Doppeleurve 
derselben geht, oder dafs er die Doppelcurve derselben zweimal schneidet. 
Da es Strahlensysteme zweiter Ordnung giebt, welche wirkliche 
Brennflächen haben, die nicht in Brenncurven ausgeartet sind, so theilen 
