in’s Besondere über die der ersten und zweiten Ordnung. 21 
sich die Strahlensysteme zweiter Ordnung in folgende drei verschiedene 
Arten ein: erstens Strahlensysteme, welche nur Brenncurven haben, zweitens 
Strahlensysteme, welche eine Brenneurve und eine Brennfläche haben und 
drittens Strahlensysteme, welche keine Brenncurven, sondern nur Brenn- 
flächen haben. Diese verschiedenen Arten sollen nun für sich besonders 
betrachtet werden. 
$.4. 
Die Strahlensysteme zweiter Ordnung, welche nur Brenncurven 
statt der Brennflächen haben. 
Wenn ein Strahlensystem zweiter Ordnung eine einzige irreduktible 
Brenncurve hat, welche von allen Strahlen zweimal geschnitten wird, so 
liegen die von einem beliebigen Punkte des Raumes ausgehenden zwei 
Strahlen nothwendig in den Richtungen zweier scheinbaren Doppelpunkte 
der von diesem Punkte aus betrachteten Brenncurve. Die Brenncurve mufs 
also eine Raumcurve mit zwei scheinbaren Doppelpunkten sein, und sie 
darf auch nicht mehr als zwei scheinbare Doppelpunkte haben, weil sonst 
von jedem Punkte des Raumes aus mehr als zwei Strahlen ausgehen würden, 
die nach dem Satze (III.) einem irreduktibeln Systeme angehören mülsten. 
Die Raumeurven vierten Grades, welche durch den vollständigen Durch- 
schnitt zweier Flächen zweiten Grades entstehen, sind aber bekanntlich 
die einzigen Curven, welche zwei, und nicht mehr als zwei scheinbare 
Doppelpunkte haben; die eine irreduktible Brenncurve eines Strahlensystems 
zweiter Ordnung mufs also nothwendig eine solche Raumecurve vierten 
Grades sein, und einer solchen Brenncurve gehört auch stets ein Strah- 
lensystem zweiter Ordnung an. Schneidet man ein solches System durch 
eine beliebige Ebene, so werden aus der Brenncurve vier Punkte ausge- 
schnitten und die sechs graden Linien, welche durch je zwei dieser vier 
Punkte hindurchgehen, sind die sechs Strahlen des Systems, welche in 
dieser Ebene liegen, dasselbe ist also von der sechsten Klasse. Also: 
VI. Alle graden Linien, welche eine durch den Durchschnitt 
zweier Flächen zweiten Grades gebildete Raumcurve zwei- 
mal schneiden, bilden ein Strahlensystem zweiter Ordnung 
