32 Kummer über die algebraischen Strahlensysteme, 
der Brenncurve rational sein, so mufs für alle Punkte der Brenncurve 
= IM . . - 
Vp= 7 sen, wo M und N ganze rationale Funktionen von &, y, z sind; 
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die eine Gleichung der Brenneurve mufs also von der Form N’ — M’=0 
sein. Diese Gleichung geometrisch interpretirt sagt aus, dafs die Brenn- 
curve auf einer Fläche liegen mufs, welche den Kegel zweiten Grades = 0 
in einer Curve berührt, ohne ihn zu schneiden. Die Brenncurve kann 
also diesen Kegel ebenfalls nirgends schneiden, sondern nur berühren, 
und wenn sie vom nten Grade ist, so berührt sie ihn genau » mal, weil 
in jedem Berührungspunkte von den 2n Durchschnittspunkten der Curve 
nten Grades mit der Fläche zweiten Grades zwei zu einem Berührungs- 
punkte sich vereinigen müssen. Die Brenneurve nten Grades kann jedoch 
auch durch den Mittelpunkt des Kegels hindurchgehen, in welchem Falle 
die Anzahl der eigentlichen Berührungspunkte sich vermindert, da jeder 
Durchgang der Curve durch den Mittelpunkt des Kegels, insofern dabei 
zwei Durchschnittspunkte in einen zusammenfallen, als eine Berührung 
zu zählen ist. Geht die Curve vmal durch den Kegelmittelpunkt, so hat 
sie nur a — u eigentliche Berührungspunkte; die Brenneurve liegt alsdann 
auf einer Kegelfläche des Grades n — u, welche denselben Mittelpunkt hat 
als der Kegel zweiten Grades der Brennfläche, und welche diesen n n — u 
graden Linien berührt. Das vollständige aus allen die Brenneurve schnei- 
denden und die Brennfläche berührenden graden Linien bestehende Strahlen- 
system, welches von der 2nten Ordnung ist, wird, wenn alle nur durch 
den Mittelpunkt gehenden Strahlen, welche für sich 2# sich deckende 
Strahlensysteme erster Ordnung und Oter Klasse bilden, abgesondert 
werden, von der Ordnung 2r — 2u, und es umfalst so nur noch die 
beiden Strahlensysteme, deren jedes die eine der beiden von der Brenn- 
curve ausgehenden Schaaren ebener Strahlenbüschel enthält. Wenn nun 
eines dieser beiden Strahlensysteme von der zweiten Ordnung sein soll, 
so können die zwei von einem beliebigen Punkte des Raumes ausgehenden 
Strahlen desselben nicht in einer und derselben der beiden durch diesen 
Punkt gehenden Tangentialebenen der konischen Brennfläche liegen, 
sondern einer mufs in der eimen Tangentialebene, der andere in der 
anderen liegen; denn lägen beide in derselben Tangentialebene, so mülste 
diese, als die Ebene der beiden durch den beliebigen Punkt des Raumes 
