in’s Besondere über die der ersten und zweiten Ordnung. 33 
x, y, z gehenden Strahlen sich rational durch x, y, z ausdrücken lassen, 
welches nicht der Fall ist, da sie nothwendig die irrationale Gröfse VYp ent- 
hält, welche nicht für jeden Punkt des Raumes sondern nur für alle Punkte 
der Brenneurve rational wird. Eine beliebige Tangentialebene der Brenn- 
fläche scheidet nun die Brennceurve »ten Grades aufser den u. in den 
Mittelpunkt fallenden Punkten noch in na — » Punkten und zu jedem dieser 
n— u Punkte der Brenncurve gehört ein in dieser Tangentialebene liegen- 
des ebenes Strahlenbüschel. Von diesen n — u Strahlenbüscheln kann 
aber nur eines dem Strahlensysteme zweiter Ordnung angehören; denn 
gehörten demselben zwei oder mehrere an, so würden durch jeden in 
dieser Tangentialebene liegenden Punkt zwei oder mehrere in dieser 
Ebene liegende Strahlen des Systems gehen, welches unmöglich ist, da 
die zwei von einem Punkte ausgehenden Strahlen des Systems stets in 
zwei verschiedenen durch diesen Punkt gehenden Tangentialebenen liegen. 
Führt man nun dieses eine ebene Strahlenbüschel, welches dem Systeme 
zweiter Ordnung angehören soll, und mit ihm zugleich die Tangential- 
ebene, in welcher es liest, an der ganzen Brenncurve entlang, so darf in 
dieser Bewegung die Tangentialebene niemals wieder in eine Lage kommen 
in welcher sie schon gewesen ist, weil sonst in dieser Ebene zwei Strahlen- 
büschel des Systems liegen würden; die Tangentialebene darf also bei 
dieser ganzen Bewegung nur stets in demselben Sinne und nur einmal 
um den Kegel zweiten Grades herumgehen. Hieraus folgt weiter, dafs 
jede Tangentialebene der konischen Brennfläche zweiten Grades die Brenn- 
eurve nur in zwei Punkten schneiden darf; denn wenn mehr als zwei Punkte 
ausgeschnitten würden, so mülste das dem Systeme zweiter Ordnung an- 
gehörende ebene Strahlenbüschel dessen Mittelpunkt die ganze Brenncurve 
durchläuft, und darum nach und nach auch in alle diejenigen Punkte 
kommen muls, welche von einer bestimmten Tangentialebene aus der 
Brenncurve ausgeschnitten werden, und mit ihm die Tangentialebene, in 
welcher es liest, entweder rückläufig werden, oder mehrere Male um die 
Brennfläche herumgehen. Es mufs also n — u nothwendig gleich 2 sein, 
die Brenncurve mufs also auf einem Kegel zweiten Grades liegen, welcher die 
konische Brennfläche zweiten Grades in zwei graden Linien berührt, sie mufs, 
wenn ihr Grad gleich » ist, durch den Mittelpunkt der Brennfläche n — 2 
mal hindurchgehen und dieselbe in zwei Punkten berühren. Da diese 
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