34 Kummer über die algebraischen Strahlensysteme, 
Bedingungen nicht nur nothwendig, sondern, wie sich leicht nachweisen 
läfst, auch hinreichend sind, so hat man folgenden Satz: 
XIV. Alle graden Linien, welche einen Kegel zweiten Grades 
berühren und zugleich eine Curve nten Grades schneiden, 
dien —2 mal durch den Kegelmittelpunkt hindurchgeht 
und den Kegel zweimal berührt, mit Ausschlufs der nur 
durch den Mittelpunkt gehenden graden Linien, bilden 
zwei verschiedene Strahlensysteme zweiter Ordnung und 
nter Klasse. 
Die analytische Darstellung dieser Art der Strahlensysteme zweiter 
Ordnung übergehe ich, da dieselbe keine Schwierigkeiten bietet, aber com- 
plicirt ist. 
Hiermit sind nun alle Strahlensysteme zweiter Ordnung erschöpft, 
welche eine Brennfläche und eine nicht auf dieser liegende Brenneurve 
haben und es ist nur noch der Fall zu untersuchen wo die Brenneurve 
ganz auf der Brennfläche legt. 
Ich nehme an, die auf der Brennfläche liegende Brenncurve sei eine 
vfache Curve derselben, wobei der Fall v= 1, wo die Brenneurve eine auf 
der Brennfläche liegende einfache Curve ist, nicht ausgeschlossen wird. 
Ein jeder beliebiger Strahl des Systems, welcher durch die vfache Curve 
der Brennfläche hindurchgeht und aufserdem die Brennfläche berührt, muls, 
wenn die Brennfläche von einem höheren als dem v-+ 2ten Grade ist, 
dieselbe noch in irgend welchen Punkten schneiden; durch einen solchen 
Durchschnittspunkt gehen aber, weil er ein Punkt der Brennfläche ist, 
zwei unendlich nahe Strahlen des Systems in der Richtung einer Tangente 
und aufserdem auch der eine die Brennfläche in diesem Punkte schneidende 
Strahl; das System kann also nicht von der zweiten Ordnung sein, wenn 
der Grad der Brennfläche höher ist als v-+ 2; der Grad der Brennfläche 
kann auch nicht ein niederer sein, weil sonst kein Strahl der durch die 
Brenncurve geht dieselbe noch in einem anderen Punkte berühren könnte. 
Wenn die Brenncurve eine krumme Linie ist, so schneidet eine jede durch 
zwei Punkte derselben gehende grade Linie 2v Punkte aus der Brennfläche 
aus, da aber der Grad dieser Fläche gleich v-+ 2 ist, so kann diefs nur 
für die Werthe v=1 oder v=2 Statt haben, in allen anderen Fällen 
