- 
in’s Besondere über die der ersten und zweiten Ordnung. 35 
mufs die Brenneurve eine grade vfache Linie der Brennfläche v + 2ten 
Grades sein. Eine krummlinige Brenneurve auf einer Brennfläche könnte 
also nur dann Statt haben, wenn sie eine einfache Curve auf einer Brenn- 
fläche dritten Grades, oder eine Doppeleurve auf einer Fläche vierten 
Grades wäre. Dafs diese beiden besonderen Fälle aber keine Strahlen- 
systeme zweiter Ordnung geben, wird folgendermaafsen gezeigt. 
Von jedem Punkte der Brenncurve geht ein Strahlenkegel aus, welcher 
die Brennfläche einhüllt. Wenn drei Strahlenkegel durch einen und den- 
selben Punkt gehen, so ist dieser ein singulärer Punkt des Systems zweiter 
Ordnung, weil drei Strahlen des Systems die in den drei verschiedenen 
Strahlenkegeln liegen, durch ihn hindurchgehen. Wenn nun die von allen 
Punkten der Brenneurve ausgehenden Strahlenkegel vom zweiten oder einem 
höheren Grade sind, so schneiden sich drei derselben in acht oder mehr 
als acht Punkten, denn hätten sie eine gemeinschaftliche Durchschnitts- 
eurve, so mülste diese, da durch jeden ihrer Punkte drei Strahlen des 
Systems gehen würden, selbst eine Brenncurve des Systems sein, und diese 
müfste, da das System nur eine Brenneurve haben soll, mit der vorhan- 
denen Brenneurve identisch sein, also auch durch die Mittelpunkte der 
drei Strahlenkegel hindurchgehen, dieses ist aber nur in dem Falle mög- 
lich, wo die Mittelpunkte der drei Kegel in einer graden Linie liegen, und 
wo diese grade Linie die Brenneurve ist, gegen die Voraussetzung. Die 
acht oder mehr als acht singulären Punkte des Strahlensystems mülsten 
zugleich Knotenpunkte der Brennfläche sein, denn von jedem anderen 
Punkte der Brennfläche gehen nur so viele Strahlen des Systems aus, als 
seine Tangentialebene Durchschnittspunkte mit der Brenncurve hat. Eine 
Fläche vierten Grades mit einer Doppelcurve eines höheren als des ersten 
Grades kann aber nicht acht Knotenpunkte haben, sondern hat höchstens 
vier, wenn die Doppeleurve vom zweiten Grade ist und keinen, wenn sie 
vom dritten Grade ist. Eine Fläche dritten Grades kann überhaupt nicht 
mehr als vier Knotenpunkte haben. Die von jedem Punkte der Brenn- 
eurve ausgehenden Strahlenkegel können also in beiden vorliegenden Fällen 
nicht vom zweiten oder einem höheren Grade, sondern nur ebene Strah- 
lenbüschel sein; eine ganze Schaar ebener Strahlenbüschel kann aber nur 
Statt haben, wenn die Brennfläche von allen Ebenen dieser Strahlenbüschel 
eingehüllt wird, also nur wenn sie eine abwickelbare Fläche ist. Die ein- 
E2 
