36 Kummer über die algebraıschen Strahlensysteme, 
zige abwickelbare Fläche vierten Grades mit einer krummen Doppeleurve 
ist aber diejenige, deren Wendungscurve vom dritten Grade ist und wenn 
diese als Brennfläche und ihre Wendungscurve als Brenncurve genommen 
wird, so giebt sie überhaupt kein Strahlensystem, weil keine durch die 
Wendungscurve gehende grade Linie die Fläche in einem aufserhalb dieser 
Wendungscurve liegenden Punkte berühren kann. Die Fläche dritten Grades, 
welche eine abwickelbare sein muls, kann nur eine Kegelfläche sein, weil 
andere abwickelbare Flächen dritten Grades nicht existiren. Von jedem 
Punkte der auf diesem Kegel dritten Grades liegenden Brenneurve mufs 
ein ebenes Strahlenbüschel ausgehen, dessen Strahlen eine bestimmte grade 
Linie des Kegels berühren. Die Brenncurve, welche der Voraussetzung 
nach krumm ist, mufs alle graden Linien des Kegels schneiden, also auch 
diejenige, welche in allen Punkten von den Strahlen des einen Strahlen- 
büschels getroffen wird; einer von diesen Strahlen mufs also auch den 
Punkt treffen, in welchem die Brenncurve diese grade Linie schneidet, von 
diesem geht aber, weil er ein Punkt der Brenncurve ist, ein zweites Strah- 
lenbüschel aus, welches den einen durch seinen Mittelpunkt gehenden Strahl 
des ersten Strahlenbüschels nicht enthält, weil seine Ebene nicht durch 
den Mittelpunkt des ersten gehen kann. Durch diesen zweiten Punkt der 
Brenncurve mülste also aufser dem ebenen Strahlenbüschel noch ein ein- 
zelner Strahl des Systems gehen, welches unmöglich ist. 
Da diese beiden besonderen Fälle keine Strahlensysteme zweiter 
Ordnung ergeben, so bleibt nur der allgemeinere Fall übrig, wo eine Brenn- 
fläche nten Grades eine n — 2fache grade Linie als Brennlinie enthält. 
Dieser Fall giebt stets ein Strahlensystem zweiter Ordnung; denn die von 
einem beliebigen Punkte des Raumes ausgehenden Strahlen des Systems, 
da sie die grade Brennlinie schneiden müssen, liegen in der durch die 
Brennlinie gehende Ebene, diese Ebene schneidet aber aufser der n — 2 
fachen graden Linie aus der Fläche nur noch einen Kegelschnitt aus, und 
dieser hat nur zwei durch den gegebenen Punkt gehende Tangenten, welche 
die von ihm ausgehenden beiden Strahlen des Systems sind. Schneidet 
man das System durch eine beliebige Ebene, so wird aus der Brennfläche 
eine Curve nten Grades mit einem n — 2fachen Punkte ausgeschnitten, 
die Anzahl der durch diesen mehrfachen Punkt gehenden Tangenten der 
Curve ist 2n — 2, das System also von der 2r — 2ten Klasse. Also: 
