38 Kummer über die algebraischen Strahlensysteme, 
curve berühren vollständig bestimmt ist, so kann man die Brennfläche auf 
unendlich viele Weisen verändern ohne das Strahlensystem selbst zu ändern, 
wenn diese eine Schaar von Tangentialebenen dabei unverändert bleibt. 
Wählt man in jedem Falle die abwickelbare Fläche welche von dieser 
einfach unendlichen Schaar von Tangentialebenen eingehüllt wird, so ist 
das aus der eontinuirlichen Schaar in diesen Ebenen liegender ebener Strah- 
lenbüschel bestehende Strahlensystem nothwendig irreduktibel wenn diese 
abwickelbare Fläche und die auf derselben liegende Brenneurve irreduktibel 
sind, es mufs also das vollständige, alle Strahlen aller dieser Strahlenbüschel 
umfassende Strahlensystem selbst von der zweiten Ordnung sein. Hierzu 
gehört erstens, dafs durch einen beliebigen Punkt des Raumes nur zwei 
Ebenen dieser Schaar von einhüllenden Ebenen der abwickelbaren Fläche 
gehen; denn in jeder dieser Ebenen liegt ein Strahlenbüschel, es würden 
also, wenn mehr als zwei Ebenen durch jeden beliebigen Punkt des Raumes 
gingen auch mehr als zwei Strahlen des Systems durch diesen Punkt gehen. 
Zweitens ist hierzu erforderlich, dafs auch nicht mehr als ein Strahlen- 
büschel in jeder Ebene dieser Schaar liege, dafs also die auf der abwickel- 
baren Fläche liegende Brenncurve, in welcher die Mittelpunkte aller Strah- 
lenbüschel liegen, alle graden Linien der abwickelbaren Fläche nur einmal 
durchschneide. Diese beiden Bedingungen sind auch hinreichend, damit ein 
solches Strahlensystem zweiter Ordnung wirklich bestehe. Die Bedingung, 
dafs durch jeden Punkt des Raumes zwei einhüllende Ebenen der ab- 
wickelbaren Brennfläche gehen, ergiebt, dafs diese abwickelbare Brennfläche 
nothwendig ein Kegel zweiten Grades sein muls. Die Bedingung, dafs die 
auf diesem Kegel liegende Brenneurve jede grade Linie desselben nur einmal 
schneidet, wird in der allgemeinsten Weise durch eine Brenncurve erfüllt, 
welche aus diesem Kegel durch eine Fläche nten Grades ausgeschnitten 
wird, die in dem Kegelmittelpunkte einen n — l1fachen Knotenpunkt hat; 
eine solche Brenneurve schneidet zwar eigentlich jeden Strahl in n Punkten, 
aber die a — 1 in den Kegelmittelpunkt fallenden Durchschnittspunkte 
zählen hier nicht mit, da die denselben angehörenden Strahlenbüschel sich 
nur zu Strahlensystemen erster Ordnung und Oter Klasse vereinigen, welche 
herausfallen. Die Brenneurve wird so eine Curve des 2nten Grades mit 
einem im Kegelmittelpunkte liegenden 2rn — 2fachen Punkte. Eine be- 
liebige Ebene schneidet diese Curve in 2r Punkten und von jedem der 
