40 Kummer über die algebraischen Strahlensysteme, 
8. 6. 
Allgemeine Eigenschaften der Strahlensysteme zweiter Ordnung, 
welche Brennflächen und keine Brenneurven haben. 
Wenn ein Strahlensystem keine Brenncurve hat, so wird die Brenn- 
fläche desselben von jedem Strahle zweimal berührt und beide Berührungen 
sind alsdann im Allgemeinen eigentliche Berührungen in solchen Punkten 
der Fläche, welchen nur eine bestimmte Tangentialebene zukommt, und 
nicht blofs Durchschnitte der Strahlen mit der Fläche in Doppelpunkten 
oder Doppeleurven derselben. Die Brennfläche, da sie von allen Strahlen 
des Systems zweimal berührt wird, kann nicht von einem niederen als dem 
vierten Grade sein, für die Strahlensysteme zweiter Ordnung aber kann 
sie auch nicht von einem höheren als dem vierten Grade sein. Um diefs zu 
beweisen, betrachte ich einen beliebigen Strahl des Systems zweiter Ordnung, 
welcher die Brennfläche zweimal berührt; ein solcher Strahl müfste die Brenn- 
fläche aufserdem noch schneiden, wenn sie von einem höheren als dem 
vierten Grade wäre. Da nun von jedem Punkte der Brennfläche zwei unend- 
lich nahe Strahlen des Systems zweiter Ordnung in der Richtung einer 
Tangente derselben ausgehen, so würden durch einen solchen Durchschnitts- 
punkt des zuerst angenommenen Strahls mit der Brennfläche aufser diesem 
Strahle selbst noch zwei unendlich nahe Strahlen, also mindestens drei 
Strahlen ausgehen; ein jeder solcher Punkt mülste also ein singulärer 
Punkt des Strahlensystems zweiter Ordnung sein, und jeder Strahl des 
Systems mülste durch einen singulären Punkt des Systems hindurchgehen. 
Da dieses bei einem Strahlensysteme ohne Brenncurve nicht Statt haben 
kann, so folgt: 
XVI. Die Brennflächen aller Strahlensysteme zweiter Ordnung, 
welche keine Brenncurven haben, sind Flächen vierten 
Grades. 
Ich bemerke hierbei, dafs der Beweis dieses Satzes voraussetzt, dals 
die beiden Berührungspunkte eines jeden Strahls mit der Brennfläche im 
Allgemeinen zwei verschiedene Punkte sind. Wenn für alle Strahlen des 
Systems diese zwei Berührungspunkte in einen zusammenfallen, so giebt 
