in's Besondere über die der ersten und zweiten Ordnung. 41 
diefs ein Strahlensystem, dessen Strahlen die Brennfläche jeder nur in 
einem Punkte berühren, aber in der Art, dafs jeder Strahl durch drei 
unendlich nahe Punkte der Brennfläche hindurchgeht. Die Strahlensysteme 
dieser Art, welche auch auf Brennflächen dritten Grades Statt haben, können 
aber niemals von der zweiten Ordnung sein, weil in ihnen nicht nur zwei, 
sondern drei unendlich nahe Strahlen von jedem Punkte der Brennfläche 
ausgehen. 
Das vollständige System aller graden Linien, welche eine Fläche 
vierten Grades zweimal berühren, ist ein Strahlensystem der zwölften 
Ordnung und der achtundzwanzigsten Klasse; denn durch einen beliebigen 
Punkt im Raume gehen bekanntlich 12 grade Linien, welche eine Fläche 
vierten Grades zweimal berühren, also 12 Strahlen dieses Systems, und 
eine beliebige Ebene schneidet aus der Brennfläche eine Curve vierten 
Grades aus, deren 28 Doppeltangenten die in dieser Ebene liegenden Strah- 
len des Systems sind. Wenn eine Fläche vierten Grades Brennfläche eines 
Strahlensystems zweiter Ordnung sein soll, so mufs sich von diesem voll- 
ständigen Strahlensysteme 12ter Ordnung und 28ter Klasse ein selbstän- 
diges Strahlensystem zweiter Ordnung lostrennen lassen, sodals noch ein 
Strahlensystem 10ter Ordnung übrig bleibt, welches selbst wieder aus 
Strahlensystemen niederer Ordnungen zusammengesetzt sein kann. Die 12 
von einem beliebigen Punkte des Raumes ausgehenden Strahlen des voll- 
ständigen Systems werden durch eine Gleichung 12ten Grades bestimmt, 
deren Coefficienten rationale Funktionen der Coordinaten «, y, z des Aus- 
gangspunktes sind; diese Gleichung mufs, wenn die Fläche vierten Grades 
Brennfläche eines Strahlensystems zweiter Ordnung sein soll, reduktibel 
sein und einen Faktor zweiten Grades enthalten, dessen Coefficienten ra- 
tionale Funktionen von x, y, z sind; auch mufs umgekehrt, wenn diese 
Gleichung einen solchen rationalen Faktor zweiten Grades enthält, der 
Brennfläche vierten Grades ein Strahlensystem zweiter Ordnung angehören. 
Eine vollständige Untersuchung der Bedingungen, unter welchen diese 
Gleichung zwölften Grades einen rationalen Faktor zweiten Grades enthält, 
würde also alle Strahlensysteme zweiten Grades ergeben, welche keine 
Brenncurven haben; es erscheint jedoch einfacher und angemessener, zur 
vollständigen Untersuchung derselben eine andere mehr geometrische 
Methode anzuwenden, welche sich hauptsächlich nur auf die Discussion 
Math. Kl. 1866. F 
