46 Kummer über die algebraischen Strahlensysteme, 
so geht der Strahl x, y, z, &, n, & durch einen singulären 
Punkt des Strahlensystems, dessen Coordinaten &-+g£, 
yon, 2+g8 sind. 
Der als fest angenommene Strahl ©, 9, 2, &, „, 2 kann auch so 
beschaffen sein, dafs die drei Gleichungen 
Pd ER 
nicht blofs für einzelne bestimmte Werthe des go, sondern sogar für jeden 
beliebigen Werth des g identisch erfüllt sind. Die Gleichung (6.) ist als- 
dann für alle beliebigen Werthe des g und des A identisch erfüllt, also 
wenn man durch diesen Strahl eine beliebige Ebene hindurchlegt, so ist jeder 
Punkt dieses Strahles ein Durchschnittspunkt desselben mit einem andern in 
dieser Ebene liegenden Strahle. Es ist dies nicht anders möglich, als wenn 
entweder diese Ebene eine ganze Schaar von Strahlen des Systems enthält, 
die den festen Strahl in allen Punkten schneiden, oder wenn dieser Strahl 
aus zwei Strahlen besteht, die sich decken, in der Art, dafs jeder Punkt 
dieses Strahls als Durchnittspunkt der beiden sich deekenden Strahlen 
anzusehen ist. In dem ersten Falle müsste von jedem Punkte dieses 
Strahles ein ganzer Strahlenkegel ausgehen und dieser Strahl müsste eine 
Brennlinie des Strahlensystems sein, da aber die Strahlensysteme zweiter 
Ordnung, welche Brenneurven haben in den vorhergehenden Paragraphen 
vollständig erschöpft sind und hier ausgeschlossen werden, so bleibt nur 
der andere Fall übrig, dafs dieser Strahl aus zwei sich deckenden Strahlen 
des Systems besteht. Also: 
XXI. Diejenigen Strahlen, für welche die drei Gleichungen 
P=0, @=0, R=0 identisch erfüllt sind, für jeden be- 
liebigen Werth des g, bestehen aus zwei sich deckenden 
Strahlen des Systems. Sie sollen deshalb Doppelstrahlen 
genannt werden. 
Setzt man statt @+90&, yon, 2-+g$ einfach z, y, 2, so be- 
deuten jetzt x, y, z nicht mehr nur die Coordinaten des Ausgangspunktes 
des Strahls &, y, 2, &, ”, d, sondern für beliebige Werthe des g sind es 
die Coordinaten eines jeden Punktes in dieser graden Linie; statt P, @, 
R' hat man demgemälßs P, Q, R zu setzen. Der Satz XXI. ergiebt als- 
dann: 
