in’s Besondere über die der ersten und zweiten Ordnung. 47 
XXL. Wenn die drei Flächen nten Grades 
P=-öl0;, R=0 
gemeinsame grade Linien enthalten, so sind dieselben 
Doppelstrahlen des Strahlensystems und umgekehrt: 
jeder Doppelstrahl des Systems ist eine gemeinsame 
grade Linie dieser drei Flächen. 
Wenn überhaupt die drei Flächen nten Grades P=0, Q=0, 
R=0 irgend einen gemeinsamen Punkt &, y, 2 haben, sei es dafs er ein 
einzelner Durchschnittspunkt dieser drei Flächen ist, oder dafs er einer 
gemeinsamen Durchschnittseurve derselben angehört, so muls dieser Punkt 
entweder ein singulärer Punkt des Systems sein, von welchem ein Strahlen- 
kegel ausgeht, oder er mufs in einem Doppelstrahle liegen. Wenn näm- 
lich durch diesen Punkt irgend ein einfacher Strahl x, y, z, & , $ des 
Systems hindurchgeht, so ist nach der Voraussetzung für einen solchen 
einfachen Strahl ?=0, Q=0, R=0 für den bestimmten Werth g= 0, 
also ist nach dem Satze (XX.) x, y, z ein singulärer Punkt mit einem 
Strahlenkegel. Wenn aber durch diesen Punkt kein einfacher Strahl des 
Systems geht, so mufs nothwendig ein Doppelstrahl durch denselben hin- 
durchgehen; denn in einem algebraischen Strahlensysteme kann es über- 
haupt keinen Punkt des Raumes geben, durch welchen gar kein Strahl 
des Systems ginge, es mtissen vielmehr durch jeden Punkt des Raumes 
entweder so viele Strahlen gehen, als die Ordnung des Systems angiebt, 
welche jedoch auch zu mehrfachen sich deckenden Strahlen vereinigt sein 
können, oder es müssen unendlich viele Strahlen hindurchgehen, die einen 
Strahlenkegel bilden. Hieraus folgt weiter, dafs die drei Flächen keine 
allen dreien gemeinsame krumme Durchschnittscurve haben können, denn 
es mülste ein jeder Punkt derselben entweder ein singulärer Punkt mit 
einem Strahlenkegel und daher diese Durchschnittseurve eine Brenncurve 
sein, welcher Fall hier ausgeschlossen ist, oder es müsste durch jeden 
Punkt dieser Curve ein Doppelstrahl gehen und demnach müssten die 
drei Flächen eine ganze Schaar gemeinsamer grader Linien enthalten, 
welche zusammen eine allen dreien gemeinsame gradlinige Fläche bilden 
und einen gemeinsamen Faktor der drei Funktionen P, Q, R geben würden, 
welcher ebenfalls ausgeschlossen ist. Also hat man: 
