48 Kummer über die algebraischen Strahlensysteme, 
XXIII. Die drei Flächen P=0, Q=0, R=0 haben keine anderen 
gemeinsamen Durchschnittslinien als die Doppelstrahlen 
des Systems und alle gemeinsamen Durchschnittspunkte 
derselben, welche nicht in diesen Doppelstrahlen liegen, 
sind singuläre Punkte, des Strahlensystems, von welchen 
Strahlenkegel ausgehen. 
Die genaue Bestimmung der Anzahl aller Doppelstrahlen, welche 
in einem Strahlensysteme zweiter Ordnung und n + l1ter Klasse enthalten 
sind, erhält man auf folgende Weise: Es sei 
(8.) ad +Ry+yz7+dt=0 
eine beliebige Ebene, welche als fest betrachtet und so gewählt werden soll, 
dafs sie keine singulären Punkte des Strahlensystems enthält und dafs 
keiner der in ihr liegenden n +1 Strahlen des Systems und auch keiner 

der ann “ Durchschnittspunkte je zweier dieser n+1 Strahlen, ins 
Unendliche fällt. Es seien «, y, 2 die Coordinaten irgend eines dieser 
Durchschnittspunkte zweier Strahlen, so mufs für diesen Punkt die feste 
Ebene (8.) dieselbe sein, als die Ebene der zwei von z, y, z ausgehenden 
Strahlen, welche wie oben gezeigt worden die Gleichung 
(9) Pa) +Qy-W+RE-)=0 
hat. Die Bedingung, dafs diese beiden Ebenen identisch sind, giebt die 
drei Gleichungen 
je R 
(10.) Fed 4=- und aa+ly+yz+dt=0, 
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diesen müssen also die Coordinaten aller _— Durchschnittspunkte je 
zweier in der Ebene (8.) liegenden Strahlen des Systems genügen. Den- 
selben Gleichungen genügen ausserdem auch die Coordinaten der Durch- 
schnittspunkte aller Doppelstrahlen des Systems mit der Ebene (8.); denn 
für dieee hat man P=0, Q=0, R=0 und aa+ßy+yz+dt=0. 
Es können aber diesen drei Gleichungen (10.) keine anderen Punkte ge- 
nügen, als die genannten; denn wenn P, Q und R nicht alle drei gleich 
Null sind, so ist die Ebene der beiden durch den Punkt x, y, z gehen- 
den Strahlen des Systems eine vollkommen bestimmte und mit der Ebene 
