in's Besondere über die der ersten und zweiten Ordnung. 51 
Ein Doppelstrahl wird demnach nicht so wie ein einfacher Strahl 
in jedem seiner Punkte von einem anderen Strahle des Systems geschnitten, 
weil sonst jeder seiner Punkte ein singulärer Punkt mit einem Strahlen- 
kegel und der Doppelstrahl eine Brennlinie des Systems sein müsste, es 
giebt vielmehr in jedem Doppelstrahle nur einzelne bestimmte singuläre 
Punkte, durch welche alle denselben schneidenden Strahlen des Systems 
hindurchgehen. Alle einen bestimmten einfachen Strahl schneidenden graden 
Linien bilden eine gradlinige Fläche, welche für einen Doppelstrahl stets 
in Kegelflächen zerfallen mufs, deren Mittelpunkte in den singulären Punkten 
des Doppelstrahls liegen. 
Lest man durch den einen festen Strahl in der gradlinigen Fläche, 
deren erzeugende grade Linien die diesen festen Strahl schneidenden Strahlen 
des Systems sind, eine Ebene hindurch, so besteht die Durchschnittseurve 
nur aus dem festen Strahle selbst und aus den in dieser Ebene liegenden 
erzeugenden graden Linien der Fläche, welche die in der Ebene liegenden, 
den festen Strahl schneidenden n Strahlen des Systems sind; der feste 
Strahl selbst aber wird dreimal ausgeschnitten, nämlich einmal als die 
grade Linie, durch welche alle erzeugenden graden Linien der Fläche hin- 
durchgehen, und aufserdem noch zweimal weil die grade Linie durch deren 
Bewegung die gradlinige Fläche erzeugt wird, in ihrer Bewegung an dem 
festen Strahle entlang zweimal durch denselben hindurchgeht, nämlich, wenn 
ihr Durchschnittspunkt in einen der beiden Punkte kommt, in welchen der 
feste Strahl die Brennfläche berührt. Die durch den festen Strahl geleste 
Ebene schneidet also aus der gradlinigen Fläche diese grade Linie als eine 
dreifache aus und aufserdem noch die n in der Ebene liegenden Strahlen 
des Systems, welche den festen Strahl schneiden, also: 
XXVI Die gradlinige Fläche, welche von allen einen festen 
Strahl schneidenden Strahlen des Systems gebildet wird, 
ist eine Fläche des n+ 3ten Grades. 
Wenn der feste Strahl, der von allen erzeugenden graden Linien dieser 
Fläche des n + 3ten Grades geschnitten wird, durch einen singulären 
Punkt des Strahlensystems geht, so bildet der diesem Punkte angehörende 
Kegel einen Theil dieser gradlinigen Fläche. 
Hat ein Strahlensystem einen Strahlenkegel des Grades g und legt 
man durch einen, diesem Strahlenkegel nicht angehörenden Strahl des 
G2 
