56 KuUmMmer über die algebraischen Strahlensysteme, 
n +3 erzeugende Grade gemein hat, und da jede derselben die Doppel- 
eurve m n— 1 Punkten schneidet, so ist die Anzahl derjenigen Durch- 
schnittspunkte der Doppeleurve der ersten Fläche mit der zweiten Fläche, 
welche nicht singuläre Punkte des Strahlensystems sind, gleich (nr — 1) 
(rn +3), alle übrigen Durchschnittspunkte müssen sich auf die m, singu- 
lären Punkte mit ebenen Strahlenbüscheln, die m, singulären Punkte mit 
Strahlenkegeln zweiten Grades und allgemein auf die m, singulären Punkte 
mit Strahlenkegeln gten Grades vertheilen. Durch einen singulären Punkt 
mit einem Strahlenkegel gten Grades geht jede der beiden gradlinigen 
Flächen gmal hindurch, die Doppeleurve der ersten Fläche mufs darum 
ni : { In E 
— mal durch diesen Punkt hindurchgehen, weil je zwei Durchgänge 
der Fläche einen durch diesen Punkt gehenden Ast der Doppelcurve 
geben. Da dieser Punkt zugleich ein gfacher Punkt der zweiten Fläche 
| ; 
 _ ) Durchschnittspunkte der Doppeleurve der 
ersten Fläche mit der zweiten Fläche in sich. Die m, Punkte mit Strahlen- 
ist, so vereinigt er 
kegeln gten Grades enthalten also u m, Durchschnittspunkte. 
Nimmt man nun g=1,2,5....n und fügt die gefundene Anzahl der- 
jenigen Durchschnittspunkte hinzu, welche nicht in singulären Punkten 
des Systems Statt haben, so erhält man die Anzahl aller Durchschnitts- 
punkte der Doppelceurve der ersten Fläche mit der zweiten Fläche gleich 
? — 
(n— 1) m +3) + 2m, +9m, + 4m, +... +” G De 
Diese Anzahl, der oben gegebenen gleich gesetzt, giebt den Satz: 
XXX. Wenn allgemein m, die Anzahl aller derjenigen singu- 
lären Punkte des Strahlensystems bezeichnet, von wel- 
chen Strahlenkegel gten Grades ausgehen, so ist 
2 — 
n—1 @2) OED _ gm, + 0m, Heim, +... + Dom j 
n 
In ähnlicher Weise lassen sich noch mehrere andere Sätze der- 
selben Art entwickeln, die beiden gegebenen sind aber für den Gebrauch, 
welchen wir von ihnen für die Aufstellung aller Strahlensysteme zweiter 
Ordnung, die keine Brenncurven haben, in dem Folgenden machen wollen, 
