in’s Besondere über die der ersten und zweiten Ordnung. 57 
vollständig genügend. In Betreff der ausnahmslosen Gültigkeit dieser 
beiden Sätze ist zu bemerken, dafs nur die besonderen Fälle, wo zwei 
oder mehrere der singulären Punkte des Strahlensystems sich zu einem 
vereinigt haben, Ausnahmen begründen könnten, dafs aber auch für diese 
Fälle keine Ausnahmen statt finden, wenn sie überall nur als Gränzfälle 
betrachtet werden, und wenn darum für sie dieselbe Art der Zählung 
der Punkte angewendet wird, wie in dem allgemeinen Falle. 
Betrachtet man die Strahlenkegel in ihrem Verhältnisse zu der 
Brennfläche, für welche sie stets einhüllende Kegel sind, so ist für die 
Strahlenkegel des zweiten Grades und der höheren Grade ersichtlich, dafs 
die Mittelpunkte derselben Knotenpunkte der Brennfläche sein müssen; 
denn erstens mufs der Mittelpunkt eines jeden Strahlenkegels ein Punkt 
der Brennfläche sein, da in ihm ein Schneiden unendlich naher Strahlen 
des Systems Statt findet, und zweitens ist er ein Berührungspunkt un- 
endlich vieler nicht in einer Ebene liegender Tangenten der Brennfläche. 
Der Fall, wo der Strahlenkegel vom ersten Grade, also ein ebenes Strahlen- 
büschel ist, erfordert eine besondere Betrachtung, da in diesem jeder 
Punkt des Berührungskegelschnitt’s der singulären Tangentialebene, in 
welcher das Strahlenbündel liegen mufs, möglicherweise Mittelpunkt des- 
selben sein könnte. Von einem jeden beliebigen nicht singulären Punkte 
einer Fläche vierten Grades, welcher auch nicht in dem Berührungskegel- 
schnitt dieser Fläche mit einer singulären Tangentialebene liegt, gehen 
bekanntlich sechs grade Linien aus, deren jede die Fläche in diesem und 
noch in einem anderen Punkte berührt, und eine dieser sechs zweifach 
berührenden graden Linien mufs der durch diesen Punkt der Brennfläche 
gehende Strahl des Strahlensystems zweiter Ordnung sein, welches diese 
Fläche vierten Grades zur Brennfläche hat. Läfst man den Punkt der 
Brennfläche, von welchem diese sechs zweifach berührenden graden Linien 
ausgehen, dem Berührungskegelschnitt der singulären Tangentialebene un- 
endlich nahe kommen, so fällt jede dieser sechs Linien in einen der sechs 
Knotenpunkte der Brennfläche vierten Grades, welche in jeder singulären 
Tangentialebene liegen, diejenige dieser sechs Linien, welche ein Strahl 
des Strahlensystems zweiter Ordnung ist, geht durch einen bestimmten 
der sechs Knotenpunkte, und weil dasselbe für alle continuirlich auf ein- 
ander folgenden Punkte des Berührungskegelschnitts der Fall sein mufs, 
Math. Kl. 1866. H 
