72 Kummer über die algebraischen Strahlensysteme, 
kegeln zweiten Grades, und weil die singulären Punkte des Systems zu- 
eleich Knotenpunkte und die Ebenen der Strahlenbüschel singuläre Tan- 
sentialebenen der Brennfläche sind, so hat man folgenden Satz: 
XXXVII. Die Strahlensysteme zweiter Ordnung und dritter Klasse 
haben 15 singuläre Punkte, und zwar 10 mit ebenen Strah- 
lenbüscheln, 5 mit Strahlenkegeln zweiten Grades; ihre 
Brennflächen sind Flächen vierten Grades mit 15 Kno- 
tenpunkten und mit 10 singulären Tangentialebenen. 
Mit der ersten Gleichung der Strahlensysteme dieser Klasse: 
(8) PE+Qn+R2=0 
ist die zweite, als die erste abgeleitete von dieser, zugleich mit gegeben, 
die zweite abgeleitete aber mufs, wie oben allgemein von der nten abge- 
leiteten Gleichung gezeigt worden ist, identisch verschwinden, und diese 
Bedingung ist hier, wo andere abgeleitete Gleichungen nicht existiren, zu- 
gleich die hinreichende Bedingung dafür, dafs die erste Gleichung mit 
ihrer einen abgeleiteten in der That ein Strahlensystem zweiter Ordnung 
und zweiter Klasse giebt, welches zugleich das allgemeinste dieser Klasse 
sein mufs. Setzt man für P,Q, R die allgemeinen Formen ganzer ratio- 
naler Funktionen zweiten Grades in x, y, 2, t an, so giebt die Bedingung, 
dafs die zweite abgeleitete Gleichung identisch verschwinde, unmittelbar 
zehn einfache lineare Gleichungen, unter den 3 mal 10 Constanten dieser 
Funktionen zweiten Grades, welche folgende allgemeinste Ausdrücke der- 
selben ergeben: 
P=-—f,y’ —e,2’ +dyz+eza+faey+get+hyt+izt+ kt, 
2) Q=-d, — fa’ +dyz+eertf,y+ gt hytrtzt+ kt, 
R=- ea” — d,y’ + d,yz+ e,2& + f,0y + 9,014 h,yt + ,2t+ k,t, 
mit der einen Bedingungsgleichung: 
(3.) d+e+f, =. 
Setzt man die erste abgeleitete Gleichung in die Form 
(4.) AE + Ban’ +08 +2Dng+2E2E +2 FEn=V0 
so erhält man: 
